Les séries numériques ont mauvaise réputation parce qu'elles se déguisent. Une progression simple peut se cacher derrière une alternance, deux sous-séries, une propriété des chiffres ou une opération répétée. La solution n'est pas de tester des règles au hasard, mais de suivre une hiérarchie de recherche.
Ce que ces questions évaluent
Elles mobilisent quatre aptitudes principales :
- repérer une régularité ;
- manipuler mentalement des nombres ;
- comparer plusieurs hypothèses ;
- vérifier qu'une règle explique toute la série.
Le niveau mathématique est souvent élémentaire. La difficulté vient de la densité des possibilités et du temps limité.
La méthode DÉCODE
D comme Données
Regardez la taille, le signe et la forme des nombres. Sont-ils petits, très grands, décimaux, composés de plusieurs chiffres ? Une suite de petits entiers suggère souvent des écarts ou des produits. Des nombres à quatre chiffres peuvent contenir une relation interne.
É comme Écarts
Calculez les différences entre termes successifs.
Écarts : +4, +5, +6, +7. La suite continue avec +8, donc 36.
Calculez aussi les seconds écarts lorsque les premiers sont eux-mêmes réguliers.
C comme Croisements
Testez les positions impaires et paires séparément.
- positions impaires : 2, 5, 8, 11 ;
- positions paires : 20, 17, 14.
La réponse est 11.
O comme Opérations
Testez les multiplications, divisions et formes mixtes.
Chaque terme est multiplié par 2 puis augmenté de 2 : réponse 78.
D comme Détails des chiffres
Observez la somme, le produit, la symétrie, les chiffres consécutifs ou
une séparation interne. Exemple net : dans 2189, le produit des
chiffres extérieurs donne le nombre intérieur, car 2 × 9 = 18. Une
relation interne ne doit être retenue que si elle est formulée sans
ambiguïté et vérifiée sur plusieurs termes.
E comme Exceptions et validation
Une règle plausible doit fonctionner partout. Si deux règles restent possibles, choisissez celle qui est la plus simple, la plus régulière et compatible avec les réponses proposées.
L'ordre de recherche recommandé
- écarts constants ;
- écarts croissants ou décroissants ;
- rapports constants ;
- alternance de deux opérations ;
- deux sous-séries ;
- récurrence, par exemple somme des termes précédents ;
- nombres remarquables ;
- propriétés des chiffres ;
- lecture visuelle ou concaténation.
Écrivez les écarts au-dessus de la série. Ce geste minuscule transforme souvent une intuition floue en règle visible.
La boîte à outils des nombres remarquables
Carrés à connaître au moins jusqu'à 20²
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400
Cubes à connaître au moins jusqu'à 10³
Nombres premiers utiles
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Critères rapides de divisibilité
| Diviseur | Réflexe |
|---|---|
| 2 | dernier chiffre pair |
| 3 | somme des chiffres multiple de 3 |
| 4 | deux derniers chiffres divisibles par 4 |
| 5 | dernier chiffre 0 ou 5 |
| 9 | somme des chiffres multiple de 9 |
| 10 | dernier chiffre 0 |
Les grandes structures
Progression arithmétique
On ajoute ou retire une constante : 12, 17, 22, 27, ...
Progression géométrique
On multiplie ou divise par une constante : 3, 9, 27, 81, ...
Progression évolutive
L'opération change régulièrement : 4, 7, 13, 22, 34 avec
+3, +6, +9, +12.
Progression alternée
Deux opérations alternent : 5, 10, 8, 16, 14, 28 avec ×2, -2.
Deux sous-séries
Les termes impairs et pairs ont chacun leur logique :
1, 20, 4, 17, 7, 14.
Récurrence
Un terme dépend des précédents : 2, 3, 5, 8, 13 où chaque terme est la
somme des deux précédents.
Relation interne aux chiffres
Dans 362, le chiffre central peut être le produit des deux autres :
3 × 2 = 6. Ne supposez jamais cette règle sans la vérifier sur
plusieurs termes.
Entraînement progressif
Écart constant de +5. Réponse : 27.
On retire 5. Réponse : 32.
On multiplie par 2. Réponse : 48.
On multiplie par 3. Réponse : 162.
Les écarts sont +3, +4, +5, +6, puis +7. Réponse : 29.
On retire successivement 6, 5, 4, 3, puis 2. Réponse : 70.
Alternance ×2 puis -2. Après 28, on retire 2. Réponse : 26.
Alternance +4 puis ×3. Après 75, on ajoute 4. Réponse : 79.
Deux sous-séries : 2, 5, 8, 11 et 30, 25, 20. Réponse : 11.
Écarts +1, +2, +3, +4, +5, puis +6. Réponse : 22.
Chaque terme est la somme des deux précédents. Réponse : 21.
Chaque terme est multiplié par 2 puis augmenté de 1 : 39×2+1 = 79.
Carrés des nombres impairs : 1², 3², 5², 7², 9², puis 11². Réponse : 121.
Cubes de 2, 3, 4, 5, puis 6. Réponse : 216.
Quel est l'intrus : 29 - 31 - 37 - 39 - 41 - 43 ?
39 est divisible par 3 et 13. Tous les autres sont premiers.
Quel est l'intrus : 2189 - 3279 - 4287 - 5428 - 6488 ?
Dans 2189, 2×9=18 ; dans 3279, 3×9=27 ; dans 4287, 4×7=28 ; dans 6488, 6×8=48. Pour 5428, 5×8=40 et non 42. L'intrus est 5428.
Produits de deux entiers consécutifs : 3×4, 4×5, 5×6, 6×7, 7×8, puis 8×9. Réponse : 72.
On ajoute les cubes successifs : +1, +8, +27, +64, puis +125. Réponse : 141+125 = 266.
Les erreurs à diagnostiquer
| Erreur | Symptôme | Correction |
|---|---|---|
| Règle trop complexe | Beaucoup d'opérations ad hoc | evenir aux écarts et sous-séries |
| Vérification incomplète | La règle échoue sur un terme | Tester chaque transition |
| Confusion alternance/sous-séries | Mauvais terme suivant | Écrire les positions impaires et paires |
| Oubli du cycle | Dominos ou horloge faux | Identifier explicitement la base du cycle |
| Calcul mental fragile | Bonne règle, mauvais résultat | Séparer choix de règle et exécution |
Questions fréquentes
Combien de carrés et de cubes faut-il connaître ?
Pour un socle polyvalent, les carrés jusqu'à 20² et les cubes jusqu'à 10³ sont très utiles. Adaptez ensuite au test visé.
Faut-il toujours commencer par les écarts ?
C'est généralement le meilleur premier réflexe pour une suite de nombres simples. Pour des nombres très longs ou structurés, observez aussi les chiffres internes.
Une série peut-elle avoir plusieurs règles ?
Mathématiquement, oui. Dans un test bien construit, le contexte et les choix de réponse doivent faire émerger une règle attendue, simple et complète.