La logique formelle ne demande pas ce qui semble probable. Elle demande ce qui est nécessairement vrai à partir des informations données.
Les quatre mots à surveiller
- Tous : inclusion complète.
- Aucun : exclusion complète.
- Certains : au moins un.
- Peut-être : possibilité, pas certitude.
Une conclusion peut être vraie dans la réalité et pourtant impossible à déduire de l'énoncé. Seules les prémisses comptent.
Implication, réciproque et contraposée
Si P, alors Q s'écrit P ⇒ Q.
Ce qui est valide
- P est vrai, donc Q est vrai.
- Q est faux, donc P est faux : c'est la contraposée.
Ce qui n'est pas valide
- Q est vrai, donc P est vrai : c'est l'affirmation du conséquent.
- P est faux, donc Q est faux : c'est la négation de l'antécédent.
Exemple : S'il pleut, la rue est mouillée. La rue peut être mouillée
pour une autre raison. On ne peut donc pas conclure qu'il pleut
uniquement parce que la rue est mouillée.
Nier correctement une phrase
| Phrase | Négation correcte |
|---|---|
| Tous les candidats ont réussi | Au moins un candidat n'a pas réussi |
| Aucun candidat n'a réussi | u moins un candidat a réussi |
| Certains candidats ont réussi | Aucun candidat n'a réussi |
| A et B | non A ou non B |
| A ou B | non A et non B |
Ici, « ou » est pris au sens logique inclusif, sauf précision contraire.
Syllogismes et ensembles
Tous les A sont B signifie que l'ensemble A est inclus dans B.
Aucun B n'est C signifie que B et C sont disjoints.
Si tous les chats sont des mammifères et qu'aucun mammifère n'est un minéral, alors aucun chat n'est un minéral.
Les problèmes de menteurs
Méthode par hypothèse
- Supposer qu'une personne dit vrai.
- Déduire toutes les conséquences.
- Chercher une contradiction.
- Tester l'hypothèse inverse.
Un tableau Vrai/Faux évite de jongler mentalement avec trop de négations.
Entraînement
Tous les A sont B. Tous les B sont C. Que peut-on conclure ?
Tous les A sont C.
Certains A sont B. Tous les B sont C. Que peut-on conclure ?
Certains A sont C, car les A qui sont B appartiennent aussi à C.
Tous les A sont B. Certains B sont C. Peut-on conclure que certains A sont C ?
Non. Les B qui sont C peuvent être situés en dehors de A.
Aucun A n'est B. Tous les C sont A. Que peut-on conclure ?
Aucun C n'est B.
Si le badge est valide, la porte s'ouvre. La porte ne s'est pas ouverte. Conclusion ?
Par contraposée, le badge n'était pas valide, dans le modèle logique donné.
Si le badge est valide, la porte s'ouvre. La porte s'est ouverte. Peut-on conclure que le badge était valide ?
Non. Une autre cause peut avoir ouvert la porte.
Niez : Tous les candidats ont remis leur dossier.
Au moins un candidat n'a pas remis son dossier.
Niez : Certains jours sont pluvieux.
Aucun jour n'est pluvieux.
A dit : « B est un menteur. » B dit : « Nous sommes du même type. » L'un dit toujours vrai, l'autre ment toujours. Qui dit vrai ?
A dit vrai et B ment. Si A mentait, B dirait vrai et affirmerait à tort qu'ils sont du même type.
Harry ment les lundi, mardi et mercredi, puis dit vrai les autres jours. Il déclare : « Hier, j'ai menti. » Quel jour peut-on être ?
Lundi ou jeudi. Lundi, il ment et hier dimanche il disait vrai, donc sa phrase est fausse. Jeudi, il dit vrai et hier mercredi il mentait.
Tous les managers sont diplômés. Aucun diplômé n'est un robot. Conclusion ?
Aucun manager n'est un robot.
Certains musiciens sont peintres. Tous les peintres sont créatifs. Conclusion certaine ?
Certains musiciens sont créatifs.
Aucun sportif n'est sédentaire. Certains étudiants sont sportifs. Conclusion ?
Certains étudiants ne sont pas sédentaires.
Si Léa vient, Marc vient. Si Marc vient, Nora vient. Léa vient. Qui vient nécessairement ?
Marc et Nora.
Une seule des affirmations suivantes est vraie : A. Le nombre est supérieur à 10. B. Le nombre est pair. Pour le nombre 9, la condition est-elle respectée ?
Non. 9 n'est ni supérieur à 10 ni pair, donc aucune affirmation n'est vraie.
Une seule des affirmations suivantes est vraie : A. Le nombre est supérieur à 10. B. Le nombre est pair. Parmi 8, 11, 12 et 13, quels nombres conviennent ?
8 convient car seule B est vraie. 11 et 13 conviennent car seule A est vraie. 12 ne convient pas car A et B sont vraies.
La méthode du diagramme minimal
Pour un syllogisme, dessinez mentalement ou sur papier :
- un cercle inclus pour « tous » ;
- deux cercles séparés pour « aucun » ;
- une croix dans une intersection pour « certains ».
N'ajoutez jamais une intersection non donnée. C'est la source principale des conclusions abusives.
Les pièges classiques
Confondre vérité et déductibilité
« Certains oiseaux volent » est vrai dans le monde, mais si l'énoncé ne parle que de poissons, cette phrase ne se déduit pas.
Inverser l'implication
P ⇒ Q ne signifie pas Q ⇒ P.
Mal nier « tous »
La négation de « tous sont » est « au moins un n'est pas », pas « aucun n'est ».
Oublier la portée de « certains »
En logique de test, « certains » signifie au moins un, sans exclure que tous puissent l'être.
Questions fréquentes
Faut-il connaître des symboles logiques ?
Ils aident, mais une traduction en français simple suffit. L'essentiel est de respecter le sens des quantificateurs et des implications.
Comment résoudre les menteurs sans se perdre ?
Posez une hypothèse, déroulez-la jusqu'au bout et cherchez une contradiction. Un petit tableau est préférable à une longue réflexion mentale.
Une conclusion « possible » est-elle une conclusion certaine ?
Non. Les tests distinguent souvent « nécessairement vrai », « peut être vrai » et « impossible ».