Épreuve de mathématiques - Concours Avenir

Méthode rapide (réflexe QCM)

La suite est de la forme u_(n+1) = a·uₙ + b avec |a| = 0,5 < 1 : elle converge vers le point fixe L solution de L = a·L + b.

Calcul complet

On résout L = 0,5L + 3, soit L - 0,5L = 3, soit 0,5L = 3, donc L = 6. Comme |0,5| < 1, la suite converge bien vers cette valeur (on peut vérifier numériquement : u₁ = 3, u₂ = 4,5, u₃ = 5,25, u₄ = 5,625, la suite se rapproche de 6).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. C'est la valeur de départ u₀, pas la limite : confond le premier terme avec le comportement à l'infini de la suite.
• B. C'est le terme constant de la relation de récurrence (le « +3 »), pas le point fixe de l'équation L = 0,5L + 3.
• D. Une divergence vers +∞ n'est possible que si le coefficient multiplicateur a une valeur absolue supérieure ou égale à 1 ; ici |0,5| < 1, donc la suite est nécessairement convergente.

Méthode rapide (réflexe QCM)

Il n'y a pas de formule explicite immédiate : le plus rapide en QCM est de calculer terme à terme (seulement 3 étapes), en faisant très attention à l'indice n utilisé à chaque étape.

Calcul complet

u₁ = u₀ + 3×0 + 1 = 2 + 0 + 1 = 3. u₂ = u₁ + 3×1 + 1 = 3 + 3 + 1 = 7. u₃ = u₂ + 3×2 + 1 = 7 + 6 + 1 = 14.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. 11 ne correspond à aucune étape correcte du calcul : les valeurs successives sont u₀ = 2, u₁ = 3, u₂ = 7 et u₃ = 14. Cette proposition ne satisfait donc pas l'énoncé.
• B. Correspond à l'oubli du « +1 » lors de la dernière étape : 7 + 3×2 = 13 au lieu de 7 + 3×2 + 1 = 14.
• D. 17 ne correspond à aucune étape correcte non plus : u₄ vaudrait 14 + 3×3 + 1 = 24. Cette valeur ne satisfait pas l'énoncé.

Méthode rapide (réflexe QCM)

On dérive, on annule la dérivée pour trouver les points critiques, on étudie le signe de f' pour repérer lequel est un maximum, puis on évalue f en ce point (ne pas répondre avec la valeur de x, mais avec la valeur de f(x)).

Calcul complet

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1), qui s'annule en x = -1 et x = 1. f' est positive avant -1, négative entre -1 et 1, positive après 1 : x = -1 est donc un maximum local. f(-1) = (-1)³ - 3×(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. C'est la valeur du minimum local f(1) = 1 - 3 + 1 = -1, et non celle du maximum : confond les deux points critiques.
• B. C'est la valeur de x = 1 en tant qu'abscisse, pas une image de f : confond l'abscisse du point critique avec l'ordonnée demandée.
• D. Résulte d'une erreur de signe en calculant f(-1) = -1 - 3 + 1 = -3 en oubliant que -3×(-1) = +3 et non -3.

Méthode rapide (réflexe QCM)

Un point d'inflexion correspond à un changement de convexité, c'est-à-dire à une annulation de la dérivée seconde avec changement de signe. On calcule donc g'' et on résout g''(x) = 0.

Calcul complet

g'(x) = 3x² - 6x, puis g''(x) = 6x - 6. On résout 6x - 6 = 0, soit x = 1. g'' est négative avant 1 (g concave) et positive après 1 (g convexe) : il y a bien changement de convexité en x = 1.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. x = 0 annule g'(x) = 3x² - 6x = 3x(x-2) en tant que point critique de g (avec x = 2), mais ce n'est pas une racine de g'' : confond l'annulation de la dérivée première avec celle de la dérivée seconde.
• C. x = 2 est l'autre point critique de g (annule g'), qui correspond à un extremum local, pas à un point d'inflexion : même confusion entre dérivée première et dérivée seconde.
• D. g''(3) = 6×3 - 6 = 12, qui n'est pas nul : x = 3 n'annule pas la dérivée seconde et n'est donc pas un point d'inflexion.

Méthode rapide (réflexe QCM)

On utilise la définition : ln(A) = k équivaut à A = e^k, à condition que A soit bien dans le domaine (ici x - 1 > 0).

Calcul complet

ln(x - 1) = 2 équivaut à x - 1 = e², soit x = e² + 1 (environ 8,39). On vérifie que x - 1 = e² > 0, donc la solution est valide dans le domaine de définition.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• B. Oublie d'ajouter le « +1 » : e² est la valeur de x - 1, pas celle de x. En vérifiant, ln(e² - 1) ≈ ln(6,39) ≈ 1,85, différent de 2.
• C. 2e ne satisfait pas l'équation : ln(2e - 1) = ln(4,44) ≈ 1,49, différent de 2. La définition du logarithme donne x - 1 = e², et non x - 1 = 2e.
• D. ln 2 + 1 est la solution de l'équation e^(x-1) = 2, pas de ln(x - 1) = 2 : ici ln(ln 2) n'est même pas défini au sens attendu puisque ln 2 ≈ 0,69, et ln(0,69) ≈ -0,37, différent de 2. Confond logarithme et exponentielle.

Méthode rapide (réflexe QCM)

On pose t = eˣ (avec t > 0 obligatoirement), ce qui transforme l'équation en une équation du second degré en t. On résout puis on ne garde que les solutions positives pour t avant de repasser à x.

Calcul complet

Avec t = eˣ, l'équation devient t² - 3t - 4 = 0, qui se factorise en (t - 4)(t + 1) = 0. Les racines sont t = 4 et t = -1. Comme t = eˣ est toujours strictement positif, seule t = 4 est acceptable, d'où eˣ = 4 et x = ln 4.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• B. ln(-1) n'existe pas dans ℝ car un logarithme népérien n'est défini que pour des nombres strictement positifs ; t = -1 doit être rejeté avant, pas après, le passage au logarithme.
• C. Confond la valeur de t (t = 4) avec la valeur de x : il faut encore résoudre eˣ = 4 pour obtenir x = ln 4, et non garder x = 4.
• D. Garde à tort les deux racines de l'équation en t sans vérifier qu'elles sont bien des valeurs possibles pour eˣ, qui est toujours positif.

Méthode rapide (réflexe QCM)

On détermine une primitive de la fonction à intégrer, puis on applique le théorème fondamental : I = F(1) - F(0).

Calcul complet

Une primitive de 2x + 1 est F(x) = x² + x. On calcule F(1) = 1 + 1 = 2 et F(0) = 0 + 0 = 0. Donc I = F(1) - F(0) = 2 - 0 = 2.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. Correspond à l'oubli du terme « +1 » dans la primitive : en ne primitivant que 2x (ce qui donne x²), on obtient F(1) = 1 au lieu de 2.
• C. Résulte d'une primitive erronée du type x² + 2x (confusion entre le coefficient 2 devant x et le terme constant +1 à primitiver en x).
• D. Provient d'un doublement erroné, par exemple en calculant 2 × F(1) au lieu de F(1) - F(0), ou d'une confusion avec l'aire d'un trapèze mal posée.

Méthode rapide (réflexe QCM)

On détermine d'abord la primitive générale de f (avec une constante C), puis on utilise la condition F(0) = 2 pour fixer C, avant d'évaluer F(1).

Calcul complet

Une primitive de f(x) = 3x² - 4x + 1 est F(x) = x³ - 2x² + x + C. La condition F(0) = 2 donne C = 2, donc F(x) = x³ - 2x² + x + 2. On calcule F(1) = 1 - 2 + 1 + 2 = 2.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. Correspond à l'oubli de la constante C = 2 dans le calcul final : x³ - 2x² + x évalué en 1 vaut 1 - 2 + 1 = 0, ce qui ignore la condition initiale F(0) = 2.
• C. 3 ne satisfait pas l'énoncé : avec la primitive correcte F(x) = x³ - 2x² + x + 2, F(1) = 1 - 2 + 1 + 2 = 2. Aucune étape du calcul ne produit 3.
• D. 4 ne satisfait pas l'énoncé non plus. À titre de repère, primitiver -4x en +2x² au lieu de -2x² donnerait F(1) = 1 + 2 + 1 + 2 = 6, et non 4 : le terme -2x² de la primitive correcte est bien celui qu'il faut écrire.

Méthode rapide (réflexe QCM)

On applique la formule des probabilités totales : P(B) = P(A) × P(B|A) + P(Ā) × P(B|Ā), en n'oubliant pas que P(Ā) = 1 - P(A). Un arbre pondéré à deux niveaux permet de visualiser les deux chemins qui mènent à B.

Calcul complet

P(Ā) = 1 - 0,4 = 0,6. P(B) = P(A) × P(B|A) + P(Ā) × P(B|Ā) = 0,4 × 0,3 + 0,6 × 0,5 = 0,12 + 0,30 = 0,42.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• B. Peut provenir d'une inversion des poids, par exemple 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,5 = 0,18 + 0,20 = 0,38, qui échange P(A) et P(Ā) dans la pondération de chaque branche.
• C. Correspond à la somme P(B|A) + P(B|Ā) = 0,3 + 0,5 = 0,8, ce qui ignore complètement la pondération par P(A) et P(Ā) : additionner deux probabilités conditionnelles n'a pas de sens sans pondération.
• D. Correspond au produit des deux probabilités conditionnelles P(B|A) × P(B|Ā) = 0,3 × 0,5 = 0,15, calcul qui n'a pas de sens ici : il n'utilise ni P(A) ni P(Ā) et ignore la structure de l'arbre pondéré.

Méthode rapide (réflexe QCM)

On utilise la formule P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k), en calculant d'abord le coefficient binomial, puis les deux puissances séparément avant de tout multiplier.

Calcul complet

C(5,2) = 10. p² = 0,2² = 0,04. (1-p)^(5-2) = 0,8³ = 0,512. On multiplie : P(X = 2) = 10 × 0,04 × 0,512 = 0,2048, soit environ 0,205 au millième.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. Correspond à P(X = 1) = C(5,1) × 0,2 × 0,8⁴ = 5 × 0,2 × 0,4096 = 0,4096, soit 0,410 au millième : confond k = 2 avec k = 1 dans la formule.
• C. Oublie le coefficient binomial C(5,2) = 10 : correspond à p² × (1-p)³ = 0,04 × 0,512 = 0,02048, soit 0,020 au millième, sans multiplier par le nombre de façons d'obtenir 2 succès parmi 5 essais.
• D. Correspond à 10 × 0,04 = 0,4 : le coefficient binomial et la puissance de p sont bien pris en compte, mais le facteur (1-p)³ = 0,512 est oublié.

Méthode rapide (réflexe QCM)

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs se calcule en sommant les produits de leurs coordonnées respectives : u·v = x_u×x_v + y_u×y_v + z_u×z_v.

Calcul complet

u·v = 1×3 + 2×(-1) + (-1)×2 = 3 - 2 - 2 = -1.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• B. Correspond à une erreur de signe sur le dernier terme : 3 - 2 + 2 = 3, en traitant (-1)×2 comme +2 au lieu de -2.
• C. La définition impose de sommer les trois produits terme à terme, soit 3 - 2 - 2 = -1. La valeur 6 ne correspond à aucun de ces produits ni à leur somme : elle ne satisfait pas l'énoncé.
• D. Même remarque : en ignorant les signes, la somme des produits vaudrait 3 + 2 + 2 = 7, et non 9. Aucune lecture du produit scalaire ne donne 9.

Méthode rapide (réflexe QCM)

Pour un plan d'équation ax + by + cz = d et un point M(x₀ ; y₀ ; z₀), la distance est donnée par |a×x₀ + b×y₀ + c×z₀ - d| / √(a² + b² + c²). Les coefficients a, b et c sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan : il faut donc diviser par la norme de ce vecteur normal, c'est-à-dire par la racine carrée de la somme des carrés, et non par cette somme brute.

Calcul complet

Numérateur : |1×1 + 2×0 - 1×2 - 3| = |1 + 0 - 2 - 3| = |-4| = 4. Dénominateur : √(1² + 2² + (-1)²) = √(1+4+1) = √6. La distance est donc 4/√6, soit environ 1,633.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• B. Oublie de diviser par la norme du vecteur normal (√6) : ne garde que le numérateur, ce qui ignore l'échelle donnée par les coefficients du plan.
• C. Divise par la somme des carrés des coefficients (1+4+1=6) au lieu de sa racine carrée (√6) : confond a²+b²+c² avec √(a²+b²+c²).
• D. Suppose à tort que A appartient au plan sans vérifier : en injectant les coordonnées de A dans l'équation, on obtient 1 + 0 - 2 = -1, différent de 3, donc A n'appartient pas au plan.

Méthode rapide (réflexe QCM)

Les solutions de y' = ay sont les fonctions y(x) = K×e^(ax), où K est fixée par la condition initiale. On identifie a, on détermine K avec y(0), puis on évalue en x = 1.

Calcul complet

L'équation y' = 3y a pour solutions générales y(x) = K×e^(3x). La condition y(0) = 2 donne K×e⁰ = K = 2, donc y(x) = 2e^(3x). On calcule y(1) = 2×e³ ≈ 2×20,0855 ≈ 40,17.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. Correspond au produit K × a = 2 × 3 = 6, ce qui confond les paramètres de l'équation différentielle avec la valeur de la fonction en x = 1 : ne fait aucun appel à la fonction exponentielle.
• C. Correspond à 2e ≈ 2 × 2,718 ≈ 5,44, c'est-à-dire à la fonction y(x) = 2eˣ obtenue en prenant a = 1 au lieu de a = 3 : erreur classique d'identification du coefficient de l'équation.
• D. Correspond simplement à la valeur de e ≈ 2,72, comme si y(1) = e sans tenir compte ni du coefficient K = 2, ni de l'exposant 3x : ignore la résolution de l'équation différentielle.