L'épreuve de Calcul au TAGE MAGE

Le sous-test Calcul du TAGE MAGE, c'est 15 questions en 20 minutes, sans calculatrice. Il évalue un programme de mathématiques qui s'arrête, grosso modo, à la classe de Troisième… mais avec une exigence redoutable de vitesse, de méthode et de calcul mental. Ce guide vous donne tout : le programme complet avec les formules à connaître par cœur, la méthode de lecture des énoncés qui distingue les candidats à 450+, les trois techniques de résolution qui font gagner des dizaines de secondes par question (backsolving, dernier chiffre, inconnues entières), des exemples corrigés pas à pas, et les 5 règles d'or à appliquer le jour J.

Ce guide est extrait et adapté de La Bible du TAGE MAGE (17e édition, Studyrama, collection Le Choix du Succès) de Franck Attelan - l'ouvrage de préparation au TAGE MAGE le plus vendu en France - et de l'expérience des coachs AURLOM, qui préparent chaque année des milliers de candidats au test.

01L'épreuve de calcul en bref : format, durée, enjeux

Le sous-test 2 du TAGE MAGE (« Calcul ») est l'une des six épreuves du test. Voici sa carte d'identité :

La bonne nouvelle ? Le calcul est l'épreuve la plus « rentable » du TAGE MAGE : c'est celle où le travail paie le plus directement. Il n'y a aucune part de hasard : chaque notion se prépare, chaque automatisme s'acquiert, chaque astuce s'entraîne. Un candidat sérieux peut passer de 5/15 à 12/15 en quelques semaines de préparation structurée. Alors, au travail - et avec le sourire !

02Le programme complet du sous-test Calcul

Ce chapitre est le plus important de votre préparation en calcul. Vous ne vous aventureriez pas à déchiffrer une partition de musique sans connaître la signification des pauses, des blanches et des clés de sol. Il en va de même en arithmétique : impossible de résoudre les questions du TAGE MAGE sans maîtriser parfaitement, par cœur, l'ensemble des définitions et formules qui suivent.

2.1. Arithmétique et manipulation des nombres

Chiffres, nombres et grandes familles

• Il n'existe que dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - mais une infinité de nombres.
• Entiers naturels (ℕ) : les entiers positifs, 0 inclus.
• Entiers relatifs (ℤ) : les entiers naturels plus leurs opposés négatifs (−12, −2 232…).
• Nombres décimaux : développement décimal limité, de la forme $a × 10^p$.
• Nombres rationnels (ℚ) : s'écrivent $\dfrac{p}{q}$ avec p, q entiers, q ≠ 0. Leur écriture décimale présente une séquence de chiffres qui se répète (ex. : $\tfrac{2}{7} = 0,\underline{285714}285714…$).
• Nombres irrationnels : impossibles à écrire en fraction - √2, √7, π, e…
• Nombres réels (ℝ) : l'ensemble le plus large, réunion des rationnels et des irrationnels.

Les nombres premiers : à apprendre PAR CŒUR

Un nombre premier n'est divisible que par lui-même et par 1. Attention : 1 n'est pas premier, et 2 est le seul nombre premier pair.

$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97,\ 101$

Le théorème fondamental de l'arithmétique

Tout nombre entier se décompose comme un produit unique de facteurs premiers.

Exemple : 91 = 7 × 13 ; 42 = 2 × 3 × 7. Cette décomposition est l'ADN du nombre : aucun autre nombre ne possède la même.

Divisibilité, multiples, division euclidienne

• A est un multiple de B s'il existe un entier C tel que A = B × C.
• Division euclidienne : pour A et B entiers naturels (B ≠ 0), il existe un unique couple (Q, R) tel que :

$A = B \times Q + R \quad \text{avec } 0 \leq R \leq B-1$

Exemple : 15 = 7 × 2 + 1 → quotient Q = 2, reste R = 1.

PPCM et PGCD : la méthode en une phrase chacun

Exemple complet avec 72 et 132 : $72 = 2^3 \times 3^2 \qquad 132 = 2^2 \times 3 \times 11$ $\text{PPCM}[72, 132] = 2^3 \times 3^2 \times 11 = 792 \qquad \text{PGCD}[72, 132] = 2^2 \times 3 = 12$

Entraînez-vous (réponses en fin de ligne) : PPCM[36 ; 24] = 72 · PPCM[100 ; 12] = 300 · PGCD[36 ; 24] = 12 · PGCD[144 ; 81] = 9.

Les critères de divisibilité : vos meilleurs alliés

Sans calculatrice, ces critères sont indispensables - en calcul, en conditions minimales, et même en logique (repérer une série de nombres tous divisibles par 9 ou 11 rapporte des points précieux).

! Piège classique : 111 et 333 ne sont pas divisibles par 11 !

Pairs, impairs et nombres consécutifs

Avec P = pair et I = impair :

$P+P = P \quad P+I = I \quad I+I = P \qquad\qquad P\times P = P \quad P\times I = P \quad I\times I = I$

Quatre propriétés en or sur les nombres consécutifs :

1. La somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire (16 + 17 = 33).
2. La somme de quatre entiers consécutifs est toujours paire (2+3+4+5 = 14).
3. La moyenne de trois entiers consécutifs est égale au deuxième (moyenne de 3, 4, 5 → 4).
4. Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

Le jargon arithmétique à connaître

Tables, carrés et cubes : le socle de votre vitesse

Vous devez connaître par cœur vos carrés de 1 à 20 et vos cubes de 1 à 10. Le jour du test, pendant que certains calculent péniblement 9 × 9 × 9, vous aurez déjà répondu et serez passé à la question suivante. Gagner 45 secondes sur une épreuve de 20 minutes, c'est comme gagner 9 minutes sur une dissertation de 4 heures !

2.2. Fractions, puissances et racines carrées

Fractions : les manipulations fondamentales

Dans une fraction a / b, a est le numérateur et b le dénominateur. Pour a, b, c, d non nuls :

a / b = c / d si et seulement si a × d = b × c (produit en croix)

Les six réflexes à automatiser :

1. a/b + x/y = (ay + bx) / by
2. a × x/y = ax / y
3. a/b × x/y = ax / by
4. 1 / (1/a) = a
5. (a/b) / x = a / (bx)
6. (a/b) / (x/y) = a/b × y/x

Simplifier une fraction = diviser numérateur et dénominateur par un même nombre jusqu'à obtenir une fraction irréductible :

• 14/4 = (2 × 7) / (2 × 2) = 7/2
• 21/105 = (3 × 7) / (3 × 5 × 7) = 1/5

Puissances : les 10 formules incontournables

Pour A, B, C réels non nuls et n, p entiers naturels :

i Astuce de factorisation : X⁵ − X³ ne se simplifie pas avec les formules de puissances, mais se factorise : X⁵ − X³ = X³(X² − 1) = X³(X − 1)(X + 1). Ce réflexe débloque de nombreuses questions !

Identités remarquables

• (A + B)² = A² + 2AB + B²
• (A − B)² = A² − 2AB + B²
• (A − B)(A + B) = A² − B²

Racines carrées

• racine carrée de C² = valeur absolue de C
• racine carrée de A × racine carrée de B = racine carrée de (A × B)
• racine carrée de A / racine carrée de B = racine carrée de (A / B)
• (racine carrée de A)ⁿ = Aⁿ/²
• racine carrée de (A + B) < racine carrée de A + racine carrée de B

Approximations à connaître :

• racine carrée de 2 ≈ 1,414
• racine carrée de 3 ≈ 1,732
• racine carrée de 5 ≈ 2,236
• racine carrée de 7 ≈ 2,646
• racine carrée de 10 ≈ 3,162

2.3. Les pourcentages : la notion la plus rentable du TAGE MAGE

Un pourcentage est trois choses à la fois - et le candidat champion jongle entre les trois en une fraction de seconde :

1. Une fraction : $X$ (ainsi $80$, $36$)
2. Une part : $\text{Pourcentage} = \left(\dfrac{\text{Part}}{\text{Total}} × 100\right)$
3. Un nombre décimal : 25% = 0,25 ; 112% = 1,12 ; 0,5% = 0,005

Le tableau fondamental de correspondances (à connaître sur le bout des doigts !)

Et les équivalences verbales : doubler = +100 % = ×2 · tripler = +200 % = ×3 · décupler = +900 % = ×10 · augmenter du cinquième = +20 % = ×1,2 · diminuer du quart = −25 % = ×0,75.

Augmentation et baisse : le coefficient multiplicateur

$\text{Hausse de } a\,\% : \quad X^{+} = \left(1 + \frac{a}{100}\right) \times X \qquad\qquad \text{Baisse de } a\,\% : \quad X^{-} = \left(1 - \frac{a}{100}\right) \times X$

Augmenter de 35 % = multiplier par 1,35. Diminuer de 12,8 % = multiplier par 0,872. Ce réflexe doit devenir instantané.

Variations successives : on MULTIPLIE, on n'additionne jamais !

$X^{+-} = \left(1 + \frac{a}{100}\right)\left(1 - \frac{b}{100}\right) \times X$

Et l'ordre des variations n'a aucune importance :

Dans les deux cas : 100 × 1,1 × 0,8 = 88, soit une variation globale de −12 % (et non −10 % !).

Trouver un pourcentage d'évolution

$\text{Variation} = \left(\dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100\right)\,\%$

Exemple : le litre d'essence passe de 1,40 € à 1,428 €. Variation $= \frac{0,028}{1,4} × 100 = 2$.

i Astuce fractions : pour passer de $\tfrac{5}{6}$ à $\tfrac{3}{8}$, calculez le rapport $\frac{V_f}{V_i} = \frac{3}{8} × \frac{6}{5} = \frac{9}{20} = 45$ → la valeur finale vaut 45 % de l'initiale, donc baisse de 55 %.

Retrouver la valeur d'origine : LE piège à éviter absolument

× Erreur terrible : croire qu'après une baisse de 50 %, une hausse de 50 % ramène au point de départ. Perdez 50 % de 100 € → 50 €. Regagnez 50 % → 75 €, pas 100 € !

✓ Les deux règles qui sauvent (N entier > 1) :

• Si vous retranchez $\dfrac{1}{N}$ à une valeur, il faut rajouter $\dfrac{1}{N-1}$ pour la retrouver.
• Si vous ajoutez $\dfrac{1}{N}$ à une valeur, il faut retrancher $\dfrac{1}{N+1}$ pour la retrouver.

Exemple : une action perd 25 % (= ¼) mardi. Pour effacer ses pertes, elle doit regagner $\tfrac{1}{3}$ ≈ 33,33 %.

Et pour les pourcentages « non ronds », posez simplement :

$X = \frac{Y}{1 - \frac{a}{100}} \ \text{(après une baisse)} \qquad X = \frac{Y}{1 + \frac{a}{100}} \ \text{(après une hausse)}$

Exemple : après une baisse de 15 %, un produit coûte 89,70 €. Prix initial $= \frac{89,70}{0,85} ≈ 105,53$ €.

Pourcentages de pourcentages

15 % des Français vivent en Île-de-France ; 20 % d'entre eux habitent Paris. Quel pourcentage des Français habite Paris ? → $20$. Facile quand on connaît son tableau de correspondances !

2.4. Les moyennes

Moyenne arithmétique et ses deux corollaires

$\text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des termes}}{\text{Nombre de termes}}$

Les deux corollaires à connaître par cœur (ils débloquent une question sur deux) :

$\text{Somme} = \text{Moyenne} \times \text{Nombre de termes} \qquad \text{Nombre de termes} = \dfrac{\text{Somme}}{\text{Moyenne}}$

Exemple : la moyenne d'âge des 3 frères de David est 23 ans → la somme de leurs âges vaut 23 × 3 = 69 ans.

Moyenne pondérée

$M = \frac{T_1 P_1 + T_2 P_2 + \cdots + T_N P_N}{P_1 + P_2 + \cdots + P_N}$

Exemple : 12 en maths (coef 6), 11 en français (coef 4), 11 en histoire (coef 2), 15 en anglais (coef 2) : $M = \frac{12 \times 6 + 11 \times 4 + 11 \times 2 + 15 \times 2}{14} = \frac{168}{14} = 12$

L'approche géniale du barycentre

La moyenne générale est un point d'équilibre. Le groupe dont la moyenne est la plus proche de la moyenne générale est le plus nombreux - et les effectifs sont inversement proportionnels aux écarts.

Exemple : dans une classe de 30 élèves, les garçons ont 9 de moyenne, les filles 14, la classe 12. Écart filles : 2 points ; écart garçons : 3 points → il faut 3 filles pour 2 garçons → 18 filles et 12 garçons. Aucune équation, 20 secondes chrono !

2.5. La proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles quand un facteur constant F les relie : C = V × F.

La règle de trois (produit en croix)

Les produits en diagonale sont égaux : 100 × C = 125 × 10 ⇒ C = 12,5 L.

La proportionnalité « multiple » : la clé, c'est de figer une grandeur

Quand trois grandeurs varient (vitesse, consommation, distance), la règle d'or est :

Toujours modifier deux grandeurs en laissant la troisième fixe.

Exemple : un camion consomme 8 L/100 km à 80 km/h. Il a consommé 32 L à 40 km/h : quelle distance a-t-il parcourue ?

2.6. Vitesses, temps et distances (VTD)

Les trois formules fondamentales - choisissez selon ce que vous cherchez :

$(1)\ V = \dfrac{D}{T} \qquad (2)\ D = V \times T \qquad (3)\ T = \dfrac{D}{V}$

! Soyez obsédé par les unités ! 6 h 30 = 6,5 h (pas 6,3 !) ; 2 h 20 = $\tfrac{7}{3}$ h ; 0,25 h = 15 min.

Conversion km/h m/s : km/h ÷ 3,6 = m/s et m/s × 3,6 = km/h.

Les 4 grands classiques du TAGE MAGE

Exemple corrigé (croisement) : deux trains partent à 10 h, l'un d'Auxerre à 200 km/h, l'autre de Marseille à 300 km/h ; les villes sont distantes de 700 km. Même temps de trajet : $\frac{700 - D_M}{200} = \frac{D_M}{300}$ → $D_M = 420$ km de Marseille.

! La vitesse moyenne d'un aller-retour n'est JAMAIS la moyenne simple des vitesses. Aller à 8 km/h, retour à 14 km/h → $V_\text{moy} = \dfrac{2 × 8 × 14}{22} ≈ 10,2$ km/h (et non 11 !).

2.7. Unités et conversions

2.8. Progressions arithmétiques et géométriques

Cas particulier star du TAGE MAGE - la somme des N premiers entiers :

$1 + 2 + 3 + \cdots + N = \dfrac{N(N+1)}{2}$

Exemple : 7 + 13 + 19 + … + 61 (10 termes) $= \tfrac{1}{2}(7+61) × 10 = 340$.

2.9. Temps de travail (travail en équipe)

Pour N personnes travaillant ensemble :

$\dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{T_1} + \dfrac{1}{T_2} + \cdots + \dfrac{1}{T_N}$

Exemple : Sacha range sa chambre en 3 h, Jonas en 2 h. Ensemble : $\frac{1}{T} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ → $T = \frac{6}{5} = 1,2$ h = 1 h 12.

! Ne dites jamais « 2 h et 3 h → 2 h 30 à deux » : à deux, on va forcément plus vite que le plus rapide tout seul !

2.10. Géométrie

Périmètres et aires des figures usuelles

Volumes et aires latérales

Théorème de Pythagore et triangles pythagoriciens

Dans un triangle rectangle : a² + b² = c² (c = hypoténuse).

Les 4 triplets pythagoriciens à connaître par cœur - ils tombent sans arrêt :

$[3, 4, 5] \qquad [6, 8, 10] \qquad [5, 12, 13] \qquad [8, 15, 17]$

Thalès, angles et trigonométrie

• Théorème de Thalès : toute droite parallèle à un côté d'un triangle découpe un triangle de mêmes proportions : $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{DE}{CB}$.
• Angles : somme des angles d'un triangle = 180° ; d'un quadrilatère = 360° ; tour complet = 360°. Angles alternes-internes et opposés par le sommet : égaux deux à deux.
• Trigonométrie (triangle rectangle uniquement) - moyen mnémotechnique SOH - CAH - TOA :

$\sin \alpha = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} \qquad \cos \alpha = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$

• Pythagore généralisé (Al-Kashi), précieux en conditions minimales : $a² = b² + c² - 2bc\cos(A)$.

2.11. Mathématiques financières : intérêts simples et composés

Quatre variables : capital initial $C_0$, durée n, taux r, valeur acquise $C_n$.

2.12. Analyse combinatoire et probabilités

Cardinaux d'ensembles

$\text{Card(E \cup F) = \text{Card}(E) + \text{Card}(F) - \text{Card}(E \cap F)}$

Exemple : classe de 35 étudiants, 10 font du judo, 18 du karaté, 6 les deux → sportifs : 10 + 18 - 6 = 22 → 13 ne font aucun sport.

Les 4 outils de dénombrement

i Anagrammes avec lettres répétées : on divise par la factorielle de chaque répétition. PASSEES (7 lettres, 3 S… non : 2 S et 2 E) → $\dfrac{7!}{2!2!}$. APPARAT (3 A, 2 P) → $\dfrac{7!}{3!2!} = 420$.

Les 3 modèles d'urnes

Probabilités : l'essentiel

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; $P(\Omega) = 1$ ; $P(\varnothing) = 0$ ; $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Équiprobabilité :

P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}{\text{nombre de cas possibles}}}

• Probabilité conditionnelle : $P(A/B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ; indépendance : $P(A \cap B) = P(A) × P(B)$.
• Arbres de probabilités : la somme des branches issues d'un même nœud vaut 1 ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.

Exemple corrigé : urne de 9 boules numérotées de 1 à 9 ; on tire 2 boules simultanément. Probabilité d'obtenir deux numéros de même parité ? Cas possibles : $\binom{9}{2} = 36$. Cas favorables : $\binom{5}{2} + \binom{4}{2} = 10 + 6 = 16$. → $P = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

03La méthode de lecture des champions : lire lentement pour aller vite

Voici probablement la section la plus contre-intuitive - et la plus payante - de toute votre préparation. Notre expérience à AURLOM auprès de milliers de candidats est formelle : ce qui distingue les candidats à 450+ au TAGE MAGE, ce n'est pas un don pour les maths. C'est leur façon de lire les énoncés.

3.1. Faites du repérage avant de foncer (le « scan » des 45 secondes)

Vous n'iriez pas au combat sans connaître le terrain, ni sur un circuit de F1 sans reconnaître le parcours. Au TAGE MAGE, c'est pareil : avant de résoudre la moindre question, parcourez les 15 questions pendant 45 secondes à 1 minute. Repérez :

• ✓ les questions courtes et les questions de pur calcul mental ;
• ✓ les questions familières, qui ressemblent à des exercices déjà travaillés ;
• les questions longues, à garder pour la fin ;
• × les 1 ou 2 questions que vous choisirez éventuellement de sacrifier - par choix stratégique, jamais par manque de temps.

Vous ne « perdez » pas ces 45 secondes : vous achetez de la lucidité. Le candidat efficace ne fonce pas, il choisit ses combats.

3.2. Réflexe n° 1 : lire chaque énoncé comme si vous n'aviez droit qu'à UNE seule lecture

Le paradoxe fondamental de l'épreuve :

Plus vous lisez lentement, plus vous allez vite.

Pourquoi ? Parce que les relectures paniquées (« attends, qu'est-ce qu'ils demandent déjà ? ») coûtent bien plus cher qu'une première lecture attentive. Lisez mot à mot, comme si l'énoncé allait disparaître à la fin de votre lecture. Vous ne perdrez aucune information en route - et vous n'aurez plus jamais besoin de relire trois fois.

3.3. Réflexe n° 2 : injecter de la valeur ajoutée PENDANT la lecture

Recopier mécaniquement « Aurélie : 8 ans » sur son brouillon n'apporte rien. Les meilleurs candidats font autre chose : ils traduisent, raffinent et mettent en relation chaque information au fil de la lecture.

Quelques traductions automatiques à installer :

3.4. Démonstration : une question résolue DE TÊTE en 40 secondes

Dans une école, 65 % des élèves sont des filles. Parmi les garçons, 75 % ont l'âge normal pour leur classe ; 15 % sont en avance et 20 garçons sont en retard scolaire. Quel est le pourcentage de garçons en retard scolaire par rapport au nombre total d'élèves ? (A) 25 % (B) 15 % (C) 10,5 % (D) 3,5 % (E) 0,3 %

Voici le monologue intérieur du candidat champion, pendant sa lecture (en gras, la valeur ajoutée injectée de tête) :

• « 65 % de filles » → donc 35 % de garçons.
• « 75 % à l'âge normal, 15 % en avance » → donc les retardataires représentent 100 − 75 − 15 = 10 % des garçons.
• Question posée → on me demande 10 % de 35 %, soit 0,1 × 35 % = 3,5 %.
• Coup d'œil aux réponses → 3,5 % y figure. Réponse D. ✓

Aucun brouillon, aucune équation. Juste une lecture lente… et intelligente.

3.5. Ne restez jamais bloqué plus de 2 min 30 sur une question

Avec 5 minutes par question, vous résoudriez presque tout. Mais vous n'avez que 1 min 20 en moyenne. Au-delà de 2 min 30 sur une même question, vous mettez en péril tout le reste de l'épreuve. Marquez la question, passez, revenez-y s'il reste du temps. Sacrifier trois questions accessibles pour une seule question difficile est le pire scénario possible. Ce n'est pas un renoncement : c'est de la stratégie.

04Les 3 techniques qui changent tout

Voici les trois armes secrètes de la Bible du TAGE MAGE. Bien maîtrisées, elles transforment des questions d'apparence longue en victoires éclair. Prenez le temps de les comprendre en profondeur, puis entraînez-vous jusqu'à ce qu'elles deviennent des réflexes.

4.1. Le Backsolving : tester les réponses avec méthode

Le principe : plutôt que de poser des équations, on teste les réponses proposées - puisqu'elles sont sous nos yeux ! Le backsolving s'utilise dès que vous êtes en mesure de vérifier quelque chose avec une réponse candidate.

La méthode, en 3 temps :

Pourquoi c'est redoutable : vous ne faites jamais plus de deux vérifications. Si C échoue, le sens de l'erreur (trop grand / trop petit) vous dit de quel côté chercher ; et si votre 2e test échoue aussi, la bonne réponse s'en déduit par élimination.

Exemple corrigé :

Une somme de 6 500 € est composée de 79 billets de 50 € et de 100 €. Quel est le nombre de billets de 100 € ? (A) 30 (B) 35 (C) 42 (D) 51 (E) 55

• Test C (42 billets de 100 €) → 37 billets de 50 € → 4200 + 1850 = 6050 €. Trop petit : il faut plus de billets de 100 €. Direction D ou E.
• Test D (51 billets de 100 €) → 28 billets de 50 € → 5100 + 1400 = 6500 €. ✓ Réponse D.

Deux tests, zéro système d'équations, moins d'une minute.

4.2. La technique du dernier chiffre

Le principe magique :

Le dernier chiffre du produit de deux nombres est le dernier chiffre du produit de leurs derniers chiffres.

Quel est le dernier chiffre de 12673267 × 7812763789 ? Inutile de calculer quoi que ce soit : 7 × 9 = 63 → le produit se termine par 3. Point final.

Quand l'utiliser ? Dès que les 5 réponses proposées ont des derniers chiffres tous différents - un indice que les concepteurs du test vous tendent (presque) volontairement.

Exemple corrigé :

Jean repeint les 4 murs de son sous-sol, hauts de 2,6 m. Deux murs mesurent 13,7 m de large, deux autres 11,9 m. Il faut 0,3 L de peinture par m². Quelle quantité utilisera-t-il ? (A) 33,713 L (B) 37,768 L (C) 38,874 L (D) 39,936 L (E) 40,762 L

Surface : 2 × 2,6 × 13,7 + 2 × 2,6 × 11,9. En ne suivant que les derniers chiffres : le premier produit finit par 4, le second par 8 ; 4 + 8 = 12 → la surface finit par 2 ; et 2 × 3 (dernier chiffre de 0,3) → le résultat finit par 6. Une seule réponse se termine par 6 : Réponse D, en 15 secondes chrono ! ○

Et ça marche dans les deux sens : si $\overline{48N} × \overline{87P} = 42853$, alors N × P se termine par 3, donc $(N, P) ∈ \{(1,3), (3,1), (7,9), (9,7)\}$ et N + P = 4 ou 16. Une seule de ces valeurs figurera parmi les réponses - le TAGE MAGE n'a jamais deux bonnes réponses !

4.3. La technique des inconnues entières

Le principe : quand une inconnue est entière (et c'est très souvent le cas !), le champ des possibles s'effondre - et vos tables de multiplication + critères de divisibilité font le reste.

Quelles inconnues sont entières au TAGE MAGE ?

• Les êtres et les objets, toujours : personnes, voitures, chats, livres, bonbons…
• Les âges : toujours entiers.
• Distances, vitesses, aires, volumes, sommes d'argent : très souvent entiers.
• Règle majeure : si toutes les données de l'énoncé et toutes les réponses sont entières, les données implicites le sont aussi.
• Et si rien n'est entier… créez de l'entier : 12,56 km → 12 560 m ; 1 h 45 → 105 min.

Application 1 - Tables de multiplication. A × B = 42 avec A et B entiers : d'une infinité de solutions, on tombe à 8 couples possibles (1×42, 2×21, 3×14, 6×7 et leurs symétriques). De même, pour résoudre N² - N - 42 = 0, inutile de calculer un discriminant : N(N-1) = 42 → deux entiers consécutifs de produit 42 → N = 7 (ou -6). Élégant, non ?

Application 2 - Critères de divisibilité.

Un libraire a vendu tous ses livres : un tiers payés par chèque, trois dixièmes par carte, et les 704 restants en espèces. Combien de livres a-t-il vendus ? (A) 1 803 (B) 1 920 (C) 2 242 (D) 2 565 (E) 3 110

Un tiers du total est un nombre entier de livres → N est divisible par 3. Trois dixièmes aussi → N divisible par 10. Parcourez les réponses : une seule est divisible par 3 (somme des chiffres) et par 10 (finit par 0)… 1 920. Réponse B. Aucune équation posée !

05Le calcul mental : 5 astuces pour doper votre vitesse

La calculatrice est interdite : votre cerveau est votre seul outil. Bonne nouvelle, il se muscle très bien - voici vos haltères.

Astuce 1 : arrondir au chiffre rond supérieur

918 + 130 ? Ajoutez 2 : 920 + 130 = 1050, puis retirez le 2 : 1 048. De même : 654 - 98 = 656 - 100 = 556 (on ajoute 2 aux deux termes). Et 9999 + 99 + 9999 = 10000 + 100 + 10000 - 3 = 20 097.

Astuce 2 : décomposer les opérations

13 × 29 = (10 + 3) × 29 = 290 + 87 = 377. Même logique pour les pourcentages : 15 % de 40 = (10 % de 40) + (5 % de 40) = 4 + 2 = 6.

Astuce 3 : le carré des nombres finissant par 5

Multipliez le nombre « avant le 5 » par son suivant, puis accolez 25 :

$25^2 : 2 \times 3 = 6 \to \mathbf{625} \qquad 115^2 : 11 \times 12 = 132 \to \mathbf{13\,225}$

Astuce 4 : les carrés consécutifs

$(N+1)^2 = N^2 + 2N + 1$

Vous connaissez 20² = 400 ? Alors 21² = 400 + 41 = 441. Et 23² = 484 + 45 = 529 (à partir de 22² = 484).

Astuce 5 : « jouer les écarts » - l'identité remarquable en action

$(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$

Deux nombres également écartés d'un nombre « rond » ? Foncez :

Votre programme d'entraînement quotidien : 10 minutes par jour de calcul mental pur (additions, produits, divisions, simplifications de fractions), tables de 11 à 20 récitées en cachant les cases. Régularité > intensité. Si vous répondez juste à plus de 75 % de vos drills, vous êtes sur la voie royale ; sinon, pas de panique - il n'est jamais trop tard pour combler ses lacunes, et chaque jour d'entraînement compte.

06Les 5 règles d'or le jour J

Bonne nouvelle : les mauvaises réponses ne sont plus pénalisées au TAGE MAGE. Une case vide est donc une chance de points volontairement abandonnée - à la 20e minute, votre grille doit être complète, sans exception. Et si vous pouvez en plus éliminer une ou deux réponses avant de cocher (dernier chiffre, divisibilité, ordre de grandeur), vos chances grimpent encore : on ne rend jamais une grille trouée !

07Exemples corrigés commentés : entraînez-vous comme au concours

Exemple 1 - Pourcentages et bon sens (niveau ★★)

Si le prix d'un produit baisse de 20 %, de combien faut-il l'augmenter pour revenir au prix initial ?

Corrigé. Baisser de 20 % = perdre $\tfrac{1}{5}$. Le prix vaut désormais $\tfrac{4}{5}$ du prix initial et doit regagner $\tfrac{1}{5}$ du prix initial, soit $\frac{1/5}{4/5} = \tfrac{1}{4}$ de sa valeur actuelle : il faut l'augmenter de 25 %. (On retrouve la règle : on a retranché $\tfrac{1}{N}$ avec N = 5, il faut rajouter $\tfrac{1}{N-1} = \tfrac{1}{4}$.)

Exemple 2 - Moyennes et corollaire (niveau ★)

La moyenne de 8 nombres vaut 11. Si je retire un nombre, la moyenne tombe à 10. Quel nombre ai-je retiré ?

Corrigé. Somme initiale : 11 × 8 = 88. Somme après retrait : 10 × 7 = 70. Nombre retiré : 88 - 70 = 18. Dix secondes, grâce au corollaire « Somme = Moyenne × Nombre de termes ».

Exemple 3 - Backsolving sur intervalle (niveau ★★)

Un concours comporte 20 questions : +2 points par bonne réponse, −1 par mauvaise. Danielle a répondu à tout et obtient 19 points. À quel intervalle appartient son nombre de réponses fausses ? (A) [0 ; 2] (B) [2 ; 4] (C) [5 ; 8] (D) [10 ; 13] (E) [14 ; 16]

Corrigé. Testons C : avec 5 fautes → 15 × 2 - 5 = 25 points ; avec 8 fautes → 12 × 2 - 8 = 16 points. L'intervalle C couvre donc les scores de 16 à 25… qui contient 19. ✓ Réponse C - un seul test aura suffi. (Vérification : 7 fautes → 13 × 2 - 7 = 19.)

Exemple 4 - VTD, cas de rattrapage (niveau ★★★)

Jeanne part de la ville A vers B à 12 h à 48 km/h. Jean part de A vers B à 13 h à 60 km/h. À quelle heure Jean rattrape-t-il Jeanne ?

Corrigé express par la vitesse de rattrapage. À 13 h, Jeanne a 48 km d'avance. Jean la rattrape à 60 - 48 = 12 km/h. Temps nécessaire : $\frac{48}{12} = 4$ h. Jean rattrape Jeanne à 17 h. ✓

Exemple 5 - Puissances et jeux d'écriture (niveau ★★★)

Le carré de 64 est-il plus grand ou plus petit que le cube de 16 ?

Corrigé. Tout ramener à une base commune - très « Tage Mage » : $16^3 = (2 \times 8)^3 = 2^3 \times 8^3 = 8 \times 8^3 = 8^4 \qquad 64^2 = (8^2)^2 = 8^4$ Ils sont égaux ! La morale : devant des puissances, cherchez toujours la base commune avant de calculer quoi que ce soit.

Exemple 6 - Combinatoire (niveau ★★)

Combien y a-t-il de codes d'immeuble à 5 chiffres dans lesquels aucun chiffre ne se répète ?

Corrigé. Arrangement de 5 éléments parmi 10 : $A_{10}^{5} = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 =$ 30 240 codes.

Exemple 7 - Nombres parfaits, pour la culture (niveau ★)

Que vaut la somme des diviseurs de 28 (hormis lui-même) ?

Corrigé. Diviseurs : 1, 2, 4, 7, 14 → somme = 28. Un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres est un nombre parfait (comme 6, 496, 8 128…). Ce genre de « clin d'œil » revient régulièrement dans les questions du test : le connaître vous fait gagner un temps précieux.

08FAQ - Vos questions sur l'épreuve de calcul du TAGE MAGE

Quel est le niveau de mathématiques requis pour le calcul au TAGE MAGE ?

Le programme correspond essentiellement au collège (jusqu'à la Troisième), complété par des notions de suites, de mathématiques financières, de combinatoire et de probabilités vues au lycée. La difficulté ne vient pas du niveau des notions, mais de la vitesse d'exécution sans calculatrice et des pièges de raisonnement.

La calculatrice est-elle autorisée ?

Non, jamais. C'est précisément pour cela que le calcul mental (tables jusqu'à 20, carrés, cubes, critères de divisibilité, tableau des correspondances pourcentages/fractions) est le socle de votre préparation.

Combien de temps par question ?

20 minutes pour 15 questions, soit 1 min 20 en moyenne. Règle absolue : jamais plus de 2 min 30 bloqué sur une question.

Faut-il répondre à toutes les questions ?

Oui, à toutes, sans exception. Les mauvaises réponses ne sont plus pénalisées au TAGE MAGE : une bonne réponse rapporte des points, une mauvaise n'en coûte aucun. Une case vide est donc une chance de points abandonnée. Répondez d'abord aux questions sûres, puis aux probables, puis aux restantes - en éliminant une ou deux réponses quand c'est possible (dernier chiffre, divisibilité, ordre de grandeur) pour maximiser vos chances. Règle simple : on ne rend jamais une grille trouée.

Quelles sont les notions qui tombent le plus souvent ?

Les grands classiques : pourcentages (évolutions, variations successives, retour à la valeur d'origine), moyennes (pondérées, barycentre), proportionnalité et règle de trois, vitesses-temps-distances (rattrapage, croisement, vitesse moyenne), arithmétique (divisibilité, PGCD/PPCM, parité), géométrie (Pythagore, aires, volumes) et, de plus en plus, combinatoire et probabilités.

Comment progresser rapidement en calcul ?

Trois piliers, dans cet ordre : (1) apprendre le cours par cœur (formules, tableaux de correspondances, carrés et cubes) ; (2) installer les réflexes de méthode (lecture lente, traduction immédiate, choix de la technique avant le calcul) ; (3) s'entraîner chaque jour sur des questions chronométrées, avec 10 minutes de calcul mental quotidien. La progression est spectaculaire dès les premières semaines - à condition d'être régulier.

Le sous-test Calcul est-il différent du sous-test Conditions minimales ?

Oui : le calcul (sous-test 2) demande de résoudre ; les conditions minimales (sous-test 4) demandent de déterminer si les informations suffisent pour résoudre. Mais les deux reposent sur exactement le même cours - tout ce que vous apprenez ici sert double !

Où trouver plus d'entraînement ?

Dans La Bible du TAGE MAGE (Studyrama, 17e édition) : cours fondamental complet, centaines d'applications corrigées, tests blancs chronométrés. Et dans les stages intensifs TAGE MAGE d'AURLOM, animés par les auteurs de la collection Le Choix du Succès.

Le mot de la fin : vous en êtes capable

L'épreuve de calcul n'est pas une épreuve de génie mathématique : c'est une épreuve de préparation. Chaque formule apprise, chaque table récitée, chaque question chronométrée vous rapproche mécaniquement d'un excellent score. Les candidats qui décrochent 12, 13 ou 14 sur 15 ne sont pas plus intelligents que vous - ils ont simplement travaillé avec méthode, régularité et confiance.

Alors, commencez aujourd'hui : apprenez vos nombres premiers jusqu'à 101, récitez vos carrés jusqu'à 20, et faites vos 10 minutes de calcul mental. Dans quelques semaines, vous ne reconnaîtrez plus votre niveau. Au travail - et croyez en vous !

Auteur : Franck Attelan, fondateur d'AURLOM BTS+ et auteur de La Bible du TAGE MAGE (17e édition, Studyrama), de la Bible du Score IAE Message, de la Bible de l'Accès et de la Bible du Sésame - collection Le Choix du Succès. Contenu exclusif AURLOM / Studyrama. Reproduction interdite.