L'épreuve de Calcul au TAGE MAGE

15 questions, 20 minutes, aucune calculatrice. Le programme s'arrête à la classe de Troisième, mais l'exigence de vitesse est redoutable. Ce guide contient l'essentiel : le cours à connaître par cœur, la méthode de lecture, les trois techniques de résolution qui font gagner des dizaines de secondes, des exemples corrigés et les règles du jour J.

Contenu adapté de La Bible du TAGE MAGE (17e édition, Studyrama, collection Le Choix du Succès) de Franck Attelan et de l'expérience des coachs AURLOM.

01L'épreuve de calcul en bref : format, durée, enjeux

Le calcul est l'épreuve la plus rentable du TAGE MAGE : aucune part de hasard, chaque notion se prépare. Passer de 5/15 à 12/15 en quelques semaines de travail structuré est un résultat courant.

02Le programme complet du sous-test Calcul

Ce chapitre est le socle de la préparation. Aucune question ne se résout en 1 min 20 sans une maîtrise par cœur des définitions et formules qui suivent.

21. Arithmétique et manipulation des nombres

Les ensembles de nombres

• Entiers naturels $\mathbb{N}$ : entiers positifs, 0 inclus.
• Entiers relatifs $\mathbb{Z}$ : $\mathbb{N}$ et les opposés négatifs.
• Décimaux : développement décimal limité, de la forme $a \times 10^{p}$.
• Rationnels $\mathbb{Q}$ : $\dfrac{p}{q}$ avec $q \neq 0$ ; écriture décimale périodique, par exemple $\dfrac{2}{7} = 0,\overline{285714}$.
• Irrationnels : $\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$, $\pi$, $e$ - jamais une fraction.
• Réels $\mathbb{R}$ : rationnels et irrationnels réunis.

Nombres premiers

Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. 1 n'est pas premier, 2 est le seul premier pair. À connaître par cœur :

$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97,\ 101$

Théorème fondamental de l'arithmétique - tout entier se décompose en un produit unique de facteurs premiers : $91 = 7 \times 13$, $42 = 2 \times 3 \times 7$.

Division euclidienne

Pour $A$ et $B$ entiers naturels, $B \neq 0$, il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que :

$A = B \times Q + R \qquad \text{avec}\quad 0 \leqslant R \leqslant B - 1$

Exemple : $15 = 7 \times 2 + 1$, donc $Q = 2$ et $R = 1$.

PGCD et PPCM

$72 = 2^{3} \times 3^{2} \qquad 132 = 2^{2} \times 3 \times 11$ $\text{PPCM}(72\,;132) = 2^{3} \times 3^{2} \times 11 = 792 \qquad \text{PGCD}(72\,;132) = 2^{2} \times 3 = 12$

À vérifier de tête : $\text{PPCM}(36\,;24) = 72$ · $\text{PPCM}(100\,;12) = 300$ · $\text{PGCD}(36\,;24) = 12$ · $\text{PGCD}(144\,;81) = 9$.

Critères de divisibilité

Piège classique : 111 et 333 ne sont pas divisibles par 11.

Parité et nombres consécutifs

$P+P = P \quad P+I = I \quad I+I = P \qquad P \times P = P \quad P \times I = P \quad I \times I = I$

1. La somme de deux entiers consécutifs est impaire : $16+17 = 33$.
2. La somme de quatre entiers consécutifs est paire : $2+3+4+5 = 14$.
3. La moyenne de trois entiers consécutifs est le terme du milieu.
4. Le produit de deux entiers consécutifs est pair.

Le jargon des multiplicateurs

Carrés, cubes et tables

Les carrés de 1 à 20 et les cubes de 1 à 10 doivent être immédiats. Gagner 45 secondes sur une épreuve de 20 minutes équivaut à gagner 9 minutes sur une dissertation de 4 heures.

22. Fractions, puissances et racines

Fractions

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times c \quad \text{(produit en croix)}$

Les six manipulations à automatiser :

$\frac{a}{b} + \frac{x}{y} = \frac{ay + bx}{by} \qquad a \times \frac{x}{y} = \frac{ax}{y} \qquad \frac{a}{b} \times \frac{x}{y} = \frac{ax}{by}$

$\frac{1}{\frac{1}{a}} = a \qquad \frac{a/b}{x} = \frac{a}{bx} \qquad \frac{a/b}{x/y} = \frac{a}{b} \times \frac{y}{x}$

Simplifier, c'est diviser les deux termes par un même facteur jusqu'à la fraction irréductible :

$\frac{14}{4} = \frac{2 \times 7}{2 \times 2} = \frac{7}{2} \qquad \frac{21}{105} = \frac{3 \times 7}{3 \times 5 \times 7} = \frac{1}{5}$

Puissances : les 10 règles

$A^{0} = 1 \qquad A^{-n} = \frac{1}{A^{n}} \qquad A^{n} \times A^{p} = A^{n+p} \qquad \frac{A^{n}}{A^{p}} = A^{n-p} \qquad \left(A^{n}\right)^{p} = A^{n \times p}$

$\frac{A^{n}}{B^{n}} = \left(\frac{A}{B}\right)^{n} \qquad \sqrt{A} = A^{1/2} \qquad A^{n}B^{n}C^{n} = (ABC)^{n} \qquad A^{n} \times A^{-n} = 1 \qquad \sqrt[n]{A^{p}} = A^{p/n}$

Réflexe décisif : ce qui ne se simplifie pas se factorise.

$X^{5} - X^{3} = X^{3}\left(X^{2} - 1\right) = X^{3}(X-1)(X+1)$

Identités remarquables

$(A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2} \qquad (A-B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2} \qquad (A-B)(A+B) = A^{2} - B^{2}$

Racines carrées

$\sqrt{C^{2}} = |C| \qquad \sqrt{A} \times \sqrt{B} = \sqrt{AB} \qquad \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}} \qquad \left(\sqrt{A}\right)^{n} = A^{n/2} \qquad \sqrt{A+B} < \sqrt{A} + \sqrt{B}$

Approximations utiles : $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ · $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ · $\sqrt{5} \approx 2{,}236$ · $\sqrt{7} \approx 2{,}646$ · $\sqrt{10} \approx 3{,}162$.

23. Les pourcentages : la notion la plus rentable

Un pourcentage est trois objets à la fois, et le candidat rapide passe de l'un à l'autre instantanément.

$X\,\% = \frac{X}{100} \qquad \text{Pourcentage} = \frac{\text{Part}}{\text{Total}} \times 100$

Table de correspondances

Équivalences verbales : doubler $= +100\,\% = \times 2$ · tripler $= +200\,\% = \times 3$ · décupler $= +900\,\% = \times 10$ · augmenter du cinquième $= \times 1{,}2$ · diminuer du quart $= \times 0{,}75$.

Coefficient multiplicateur

$\text{Hausse de } a\,\% : \ X^{+} = \left(1 + \frac{a}{100}\right)X \qquad \text{Baisse de } a\,\% : \ X^{-} = \left(1 - \frac{a}{100}\right)X$

Augmenter de 35 % revient à multiplier par $1{,}35$ ; diminuer de 12,8 % à multiplier par $0{,}872$.

Variations successives : on multiplie, jamais on n'additionne

$X^{+-} = \left(1 + \frac{a}{100}\right)\left(1 - \frac{b}{100}\right)X$

Taux d'évolution

$\text{Variation} = \frac{V_{f} - V_{i}}{V_{i}} \times 100$

Le litre d'essence passe de 1,40 € à 1,428 € : $\dfrac{0{,}028}{1{,}4} \times 100 = 2\,\%$.

Astuce fractionnaire : pour passer de $\frac{5}{6}$ à $\frac{3}{8}$, le rapport vaut $\frac{3}{8} \times \frac{6}{5} = \frac{9}{20} = 45\,\%$, soit une baisse de 55 %.

Retour à la valeur d'origine

Erreur classique : après une baisse de 50 %, une hausse de 50 % ne restaure rien. $100 \to 50 \to 75$.

Si l'on retranche $\dfrac{1}{N}$, il faut ajouter $\dfrac{1}{N-1}$ pour revenir au point de départ. Si l'on ajoute $\dfrac{1}{N}$, il faut retrancher $\dfrac{1}{N+1}$.

Une action perd 25 % $\left(\frac{1}{4}\right)$ : elle doit regagner $\frac{1}{3} \approx 33{,}33\,\%$.

Pour les taux non ronds :

$X = \frac{Y}{1 - \frac{a}{100}} \ \text{(après une baisse)} \qquad X = \frac{Y}{1 + \frac{a}{100}} \ \text{(après une hausse)}$

Après une baisse de 15 %, un produit coûte 89,70 € : prix initial $= \dfrac{89{,}70}{0{,}85} \approx 105{,}53$ €.

Pourcentage de pourcentage

15 % des Français vivent en Île-de-France, 20 % d'entre eux à Paris :

$20\,\% \times 15\,\% = \frac{1}{5} \times 15\,\% = 3\,\%$

24. Les moyennes

$\text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des termes}}{\text{Nombre de termes}} \quad \Longrightarrow \quad \text{Somme} = \text{Moyenne} \times N \quad \text{et} \quad N = \frac{\text{Somme}}{\text{Moyenne}}$

Ces deux corollaires débloquent une question sur deux : si la moyenne d'âge de 3 frères est 23 ans, la somme de leurs âges vaut $23 \times 3 = 69$.

Moyenne pondérée

$M = \frac{T_{1}P_{1} + T_{2}P_{2} + \cdots + T_{N}P_{N}}{P_{1} + P_{2} + \cdots + P_{N}}$

$M = \frac{12 \times 6 + 11 \times 4 + 11 \times 2 + 15 \times 2}{14} = \frac{168}{14} = 12$

L'approche par barycentre

La moyenne générale est un point d'équilibre : les effectifs sont inversement proportionnels aux écarts.

25. La proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles s'il existe un facteur constant $F$ tel que $C = V \times F$.

Règle de trois. Si 100 donne 10, alors 125 donne $C$ avec $100 \times C = 125 \times 10$, donc $C = 12{,}5$.

Proportionnalité multiple. Quand trois grandeurs varient, la règle d'or est de n'en faire varier que deux à la fois :

26. Vitesses, temps et distances

$V = \frac{D}{T} \qquad D = V \times T \qquad T = \frac{D}{V}$

Obsession des unités : $6\ \text{h}\ 30 = 6{,}5\ \text{h}$, $2\ \text{h}\ 20 = \dfrac{7}{3}\ \text{h}$, $0{,}25\ \text{h} = 15\ \text{min}$. Conversion : $\text{km/h} \div 3{,}6 = \text{m/s}$.

Deux trains partent à 10 h, l'un à 200 km/h, l'autre à 300 km/h, distants de 700 km :

$\frac{700 - D_{M}}{200} = \frac{D_{M}}{300} \implies D_{M} = 420\ \text{km}$

Attention : la vitesse moyenne d'un aller-retour n'est jamais la moyenne simple. Aller à 8 km/h, retour à 14 km/h :

$V_{\text{moy}} = \frac{2 \times 8 \times 14}{22} \approx 10{,}2\ \text{km/h} \quad (\text{et non } 11)$

27. Unités et conversions

28. Suites arithmétiques et géométriques

Cas emblématique du TAGE MAGE :

$1 + 2 + 3 + \cdots + N = \frac{N(N+1)}{2}$

Exemple : $7 + 13 + 19 + \cdots + 61$ (10 termes) $= \dfrac{(7+61) \times 10}{2} = 340$.

29. Travail en équipe

$\frac{1}{T} = \frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{2}} + \cdots + \frac{1}{T_{N}}$

Sacha range en 3 h, Jonas en 2 h : $\dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}$, donc $T = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$ h, soit 1 h 12.

À deux, on va nécessairement plus vite que le plus rapide seul : toute réponse supérieure à 2 h serait absurde.

210. Géométrie

Pythagore : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. Les quatre triplets qui tombent sans arrêt :

$(3,4,5) \qquad (6,8,10) \qquad (5,12,13) \qquad (8,15,17)$

Thalès : $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{DE}{CB}$. Angles : $180°$ dans un triangle, $360°$ dans un quadrilatère.

Trigonométrie (triangle rectangle), mnémotechnique SOH-CAH-TOA :

$\sin \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \cos \alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Al-Kashi, utile en conditions minimales : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$.

211. Mathématiques financières

212. Dénombrement et probabilités

$\text{Card}(E \cup F) = \text{Card}(E) + \text{Card}(F) - \text{Card}(E \cap F)$

Classe de 35 étudiants : 10 judokas, 18 karatékas, 6 les deux → $10 + 18 - 6 = 22$ sportifs, donc 13 non sportifs.

Anagrammes avec lettres répétées : on divise par la factorielle de chaque répétition. APPARAT (3 A, 2 P) donne $\dfrac{7!}{3!\,2!} = 420$.

$0 \leqslant P(A) \leqslant 1 \qquad P(\Omega) = 1 \qquad P(\varnothing) = 0 \qquad P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \qquad P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad \text{indépendance} : P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Urne de 9 boules numérotées, tirage simultané de 2 boules, probabilité de deux numéros de même parité :

$P = \frac{\dbinom{5}{2} + \dbinom{4}{2}}{\dbinom{9}{2}} = \frac{10 + 6}{36} = \frac{4}{9}$

03La méthode de lecture des champions : lire lentement pour aller vite

Ce qui distingue les candidats à 450 et plus n'est pas un don pour les mathématiques, mais leur façon de lire les énoncés.

31. Le scan des 45 secondes

Avant de résoudre quoi que ce soit, parcourez les 15 questions pendant 45 secondes à 1 minute et classez-les :

• les questions courtes, de pur calcul mental ;
• les questions familières, déjà travaillées ;
• les questions longues, à garder pour la fin ;
• les une ou deux questions à sacrifier, par choix et jamais par manque de temps.

Ces 45 secondes n'en sont pas de perdues : elles achètent de la lucidité.

32. Une seule lecture, attentive

Plus vous lisez lentement, plus vous allez vite.

Les relectures paniquées coûtent bien plus cher qu'une première lecture attentive. Lisez chaque énoncé comme s'il allait disparaître ensuite.

33. Injecter de la valeur ajoutée pendant la lecture

Recopier « Aurélie : 8 ans » n'apporte rien. Les meilleurs candidats traduisent chaque donnée au fil de la lecture.

34. Démonstration : une question résolue de tête en 40 secondes

Dans une école, 65 % des élèves sont des filles. Parmi les garçons, 75 % ont l'âge normal, 15 % sont en avance, le reste est en retard. Quel pourcentage de l'effectif total représentent les garçons en retard ? (A) 25 % (B) 15 % (C) 10,5 % (D) 3,5 % (E) 0,3 %

• 65 % de filles, donc 35 % de garçons.
• $100 - 75 - 15 = 10\,\%$ des garçons sont en retard.
• On cherche $10\,\% \times 35\,\% = 0{,}1 \times 35\,\% = 3{,}5\,\%$. Réponse D.

Aucun brouillon, aucune équation.

35. Jamais plus de 2 min 30 sur une question

Au-delà, vous mettez en péril le reste de l'épreuve. Marquez la question, passez, revenez si le temps le permet. Sacrifier trois questions accessibles pour une question difficile est le pire scénario possible.

04Les 3 techniques qui changent tout

41. Le backsolving : tester les réponses

Le principe : plutôt que de poser une équation, on teste les propositions - elles sont sous nos yeux.

Une somme de 6 500 € est composée de 79 billets de 50 € et de 100 €. Combien de billets de 100 € ? (A) 30 (B) 35 (C) 42 (D) 51 (E) 55

• Test C : $42 \times 100 + 37 \times 50 = 6\,050$ €. Trop petit, il faut plus de billets de 100 €.
• Test D : $51 \times 100 + 28 \times 50 = 6\,500$ €. Réponse D.

42. La technique du dernier chiffre

Le dernier chiffre d'un produit est le dernier chiffre du produit des derniers chiffres.

Dernier chiffre de $12\,673\,267 \times 7\,812\,763\,789$ ? $7 \times 9 = 63$, donc 3. À utiliser dès que les cinq réponses se terminent par des chiffres différents.

Jean repeint 4 murs hauts de 2,6 m : deux de 13,7 m, deux de 11,9 m, avec 0,3 L de peinture par m². (A) 33,713 L (B) 37,768 L (C) 38,874 L (D) 39,936 L (E) 40,762 L

Les derniers chiffres suffisent : le premier produit finit par 4, le second par 8 ; $4 + 8 = 12$, donc la surface finit par 2 ; $2 \times 3 = 6$. Une seule réponse finit par 6 : réponse D, en 15 secondes.

Cela fonctionne aussi à l'envers : si $\overline{48N} \times \overline{87P} = 42\,853$, alors $N \times P$ finit par 3, donc $(N,P) \in \{(1,3),(3,1),(7,9),(9,7)\}$ et $N + P = 4$ ou 16.

43. La technique des inconnues entières

Quand une inconnue est entière, le champ des possibles s'effondre.

• Êtres et objets : toujours entiers (personnes, voitures, livres).
• Âges : toujours entiers.
• Distances, vitesses, aires, sommes d'argent : très souvent entiers.
• Si toutes les données et toutes les réponses sont entières, les données implicites le sont aussi.
• Si rien n'est entier, créez de l'entier : 12,56 km devient 12 560 m ; 1 h 45 devient 105 min.

Tables de multiplication. $A \times B = 42$ avec $A$, $B$ entiers : huit couples seulement. De même, $N^{2} - N - 42 = 0$ s'écrit $N(N-1) = 42$ : deux entiers consécutifs de produit 42, donc $N = 7$. Aucun discriminant.

Critères de divisibilité.

Un libraire a vendu tous ses livres : un tiers par chèque, trois dixièmes par carte, les 704 restants en espèces. Combien de livres ? (A) 1 803 (B) 1 920 (C) 2 242 (D) 2 565 (E) 3 110

$\frac{N}{3}$ et $\frac{3N}{10}$ sont entiers, donc $N$ est divisible par 3 et par 10. Une seule réponse convient : 1 920, réponse B.

05Le calcul mental : 5 astuces pour doper votre vitesse

Astuce 1 - Arrondir au chiffre rond supérieur

$918 + 130 = 920 + 130 - 2 = 1\,048$ · $654 - 98 = 656 - 100 = 556$.

Astuce 2 - Décomposer

$13 \times 29 = (10 + 3) \times 29 = 290 + 87 = 377$ · $15\,\%$ de 40 $= 4 + 2 = 6$.

Astuce 3 - Le carré des nombres finissant par 5

Multipliez le nombre « avant le 5 » par son suivant, puis accolez 25 :

$25^{2} : 2 \times 3 = 6 \to 625 \qquad 115^{2} : 11 \times 12 = 132 \to 13\,225$

Astuce 4 - Les carrés consécutifs

$(N+1)^{2} = N^{2} + 2N + 1$

$20^{2} = 400$, donc $21^{2} = 441$ ; $22^{2} = 484$, donc $23^{2} = 529$.

Astuce 5 - Jouer les écarts

$(A-B)(A+B) = A^{2} - B^{2}$

Programme quotidien : 10 minutes de calcul mental pur, tables de 11 à 20 récitées en cachant les cases. La régularité prime sur l'intensité.

06Les 5 règles d'or le jour J

Le barème est explicite : +4 pour une bonne réponse, 0 pour une mauvaise, 0 pour une absence de réponse. À la vingtième minute, la grille doit être complète. Éliminer une ou deux propositions avant de cocher (dernier chiffre, divisibilité, ordre de grandeur) fait grimper l'espérance de gain.

07Exemples corrigés commentés : entraînez-vous comme au concours

Exemple 1 - Pourcentages et retour à l'origine

Un prix baisse de 20 %. De combien faut-il l'augmenter pour revenir au prix initial ?

Baisser de 20 %, c'est perdre $\frac{1}{5}$. Le prix vaut $\frac{4}{5}$ de l'initial et doit regagner $\frac{1}{5}$ de l'initial, soit :

$\frac{1/5}{4/5} = \frac{1}{4} = 25\,\%$

On retrouve la règle : retrancher $\frac{1}{N}$ impose de rajouter $\frac{1}{N-1}$.

Exemple 2 - Moyennes et corollaire

La moyenne de 8 nombres vaut 11. En retirant un nombre, elle tombe à 10. Quel nombre a été retiré ?

$11 \times 8 - 10 \times 7 = 88 - 70 = 18$

Exemple 3 - Backsolving sur intervalle

Concours de 20 questions : +2 par bonne réponse, −1 par mauvaise. Danielle répond à tout et obtient 19 points. À quel intervalle appartient son nombre de fautes ? (A) [0 ; 2] (B) [2 ; 4] (C) [5 ; 8] (D) [10 ; 13] (E) [14 ; 16]

Test de C : 5 fautes donnent $15 \times 2 - 5 = 25$ ; 8 fautes donnent $12 \times 2 - 8 = 16$. L'intervalle C couvre les scores de 16 à 25, qui contient 19. Réponse C (vérification : 7 fautes donnent $13 \times 2 - 7 = 19$).

Exemple 4 - Vitesse : cas de rattrapage

Jeanne part de A à 12 h à 48 km/h. Jean part de A à 13 h à 60 km/h. À quelle heure la rattrape-t-il ?

À 13 h, Jeanne a 48 km d'avance ; la vitesse de rattrapage vaut $60 - 48 = 12$ km/h :

$T = \frac{48}{12} = 4\ \text{h} \implies \textbf{17 h}$

Exemple 5 - Puissances et base commune

Le carré de 64 est-il plus grand ou plus petit que le cube de 16 ?

$16^{3} = (2 \times 8)^{3} = 2^{3} \times 8^{3} = 8^{4} \qquad 64^{2} = \left(8^{2}\right)^{2} = 8^{4}$

Ils sont égaux. Devant des puissances, cherchez toujours la base commune avant de calculer.

Exemple 6 - Combinatoire

Combien de codes à 5 chiffres sans répétition ?

$A_{10}^{5} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30\,240$

Exemple 7 - Nombres parfaits

Que vaut la somme des diviseurs de 28, lui-même exclu ?

$1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ : 28 est un nombre parfait, comme 6, 496 et 8 128. Ce type de clin d'œil revient régulièrement.

08Six sujets complets, corrigés pas à pas

Les exemples de la section précédente isolent une notion. Ceux qui suivent reproduisent les vraies conditions du jour J : un énoncé complet, cinq propositions, un chronomètre. Chaque corrigé suit la même trame, celle que vous devez automatiser : ce que je repère, ce que j'écris, ce que je calcule, ce que je vérifie.

Sujet 1 - Deux variations successives

Le prix d'un abonnement augmente de 25 % en janvier, puis baisse de 20 % en juillet. Quelle est la variation sur l'année ?

(A) +5 % · (B) 0 % · (C) -5 % · (D) +2,5 % · (E) On ne peut pas savoir

Ce que je repère. Deux pourcentages successifs ne s'additionnent jamais. Le réflexe est de passer par des coefficients multiplicateurs.

Ce que j'écris. Prenez un prix de départ commode, ici 100.

Ce que je calcule. Le coefficient global vaut :

$1{,}25 \times 0{,}80 = 1$

Ce que je vérifie. Reprendre 20 % après avoir donné 25 % ramène exactement au point de départ, car $\dfrac{1}{5}$ retranché à 125 vaut 25.

Réponse : B, aucune variation.

Le réflexe à retenir. Une hausse de $\dfrac{1}{N}$ est annulée par une baisse de $\dfrac{1}{N+1}$. Ici $+\dfrac{1}{4}$ est annulé par $-\dfrac{1}{5}$.

Sujet 2 - Un problème d'âges, résolu deux fois

Pierre a trois fois l'âge de son fils. Dans 12 ans, il n'aura plus que le double de son âge. Quel est l'âge de Pierre aujourd'hui ?

(A) 30 ans · (B) 33 ans · (C) 36 ans · (D) 42 ans · (E) 48 ans

Voie 1, l'algèbre. Posez $f$ l'âge du fils, donc $3f$ celui de Pierre.

$3f + 12 = 2\,(f + 12)$ $3f + 12 = 2f + 24$ $f = 12 \quad \Longrightarrow \quad 3f = 36$

Voie 2, le backsolving. Testez directement les propositions en commençant par le milieu, C.

Réponse : C, 36 ans.

Le réflexe à retenir. Sur un problème d'âges à une inconnue, le backsolving depuis la proposition centrale coûte rarement plus de 30 secondes, et il ne comporte aucun risque d'erreur de signe.

Sujet 3 - La vitesse moyenne, le piège le plus rentable du test

Un automobiliste parcourt un aller à 60 km/h et le retour, sur le même trajet, à 40 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?

(A) 45 km/h · (B) 48 km/h · (C) 50 km/h · (D) 52 km/h · (E) 55 km/h

Ce que je repère. La réponse 50 est la moyenne arithmétique : c'est le piège, et il est proposé exprès. Une vitesse moyenne se calcule toujours sur les distances et les durées, jamais sur les vitesses.

Ce que j'écris. Choisissez une distance commode, un multiple de 60 et de 40 : 120 km à l'aller.

$t_{\text{aller}} = \frac{120}{60} = 2\ \text{h} \qquad t_{\text{retour}} = \frac{120}{40} = 3\ \text{h}$

Ce que je calcule.

$v_{\text{moy}} = \frac{\text{distance totale}}{\text{durée totale}} = \frac{240}{5} = 48\ \text{km/h}$

Ce que je vérifie. La moyenne doit toujours pencher du côté de la vitesse la plus lente, puisqu'on y passe plus de temps. 48 est bien inférieur à 50.

Réponse : B, 48 km/h.

Le réflexe à retenir. Pour deux vitesses sur une même distance, la formule directe est la moyenne harmonique : $v = \dfrac{2\,v_1\,v_2}{v_1 + v_2} = \dfrac{2 \times 60 \times 40}{100} = 48$.

Sujet 4 - Un mélange de deux populations

Dans une promotion, 60 % des étudiants sont des femmes. 30 % des femmes et 50 % des hommes pratiquent un sport en club. Quelle proportion de la promotion pratique un sport en club ?

(A) 34 % · (B) 38 % · (C) 40 % · (D) 42 % · (E) 45 %

Ce que j'écris. Prenez une promotion de 100 étudiants et construisez le tableau, c'est plus rapide que n'importe quelle formule.

Ce que je vérifie. Le résultat doit tomber entre 30 % et 50 %, et plus près de 30 % puisque les femmes sont majoritaires. 38 % est cohérent, 42 % ne le serait pas.

Réponse : B, 38 %.

Le réflexe à retenir. Une moyenne pondérée se lit comme un barycentre : elle est toujours attirée vers le groupe le plus nombreux.

Sujet 5 - Un dénombrement à contrainte

Un comité de 3 personnes doit être formé parmi 5 femmes et 4 hommes, avec au moins une femme. Combien de comités différents sont possibles ?

(A) 74 · (B) 76 · (C) 80 · (D) 84 · (E) 90

Ce que je repère. « Au moins un » appelle systématiquement le passage par le complémentaire : il est bien plus rapide de compter ce qu'on ne veut pas.

Ce que je calcule. Total des comités possibles parmi 9 personnes :

$C_{9}^{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

Comités sans aucune femme, donc uniquement parmi les 4 hommes :

$C_{4}^{3} = 4$

$84 - 4 = 80$

Réponse : C, 80 comités.

Le réflexe à retenir. Dénombrer par le complémentaire évite d'additionner trois cas (1 femme, 2 femmes, 3 femmes) et divise le temps de résolution par trois.

Sujet 6 - Géométrie et rapport de surfaces

On augmente le rayon d'un disque de 20 %. De combien augmente son aire ?

(A) 20 % · (B) 21 % · (C) 40 % · (D) 44 % · (E) 144 %

Ce que je repère. L'aire dépend du carré du rayon. Un pourcentage appliqué à une longueur ne se transpose jamais tel quel à une surface.

Ce que je calcule.

$\mathcal{A}' = \pi\,(1{,}2\,r)^{2} = 1{,}44 \times \pi r^{2}$

L'aire est multipliée par 1,44, soit une hausse de 44 %.

Ce que je vérifie. La proposition E, 144 %, correspond à l'aire finale, pas à son augmentation : c'est le piège de formulation classique. Relisez la question, elle demande bien une variation.

Réponse : D, +44 %.

Comment travailler ces sujets. Refaites-les chronomètre en main, 1 min 20 par question, sans regarder le corrigé. Notez pour chaque erreur si elle vient d'une lecture trop rapide, d'un calcul, ou d'une méthode manquante. En trois séances, la répartition de vos erreurs vous dira exactement où porter l'effort.

09FAQ - Vos questions sur l'épreuve de calcul du TAGE MAGE

Quel niveau de mathématiques est requis ?

Le programme du collège jusqu'à la Troisième, complété par les suites, les mathématiques financières, la combinatoire et les probabilités. La difficulté vient de la vitesse d'exécution sans calculatrice, pas du niveau des notions.

La calculatrice est-elle autorisée ?

Non, jamais. C'est pourquoi le calcul mental - tables jusqu'à 20, carrés, cubes, critères de divisibilité, correspondances pourcentages et fractions - constitue le socle de la préparation.

Combien de temps par question ?

20 minutes pour 15 questions, soit 1 min 20 en moyenne. Règle absolue : jamais plus de 2 min 30 sur une même question.

Faut-il répondre à toutes les questions ?

Oui, sans exception. Les mauvaises réponses ne sont pas pénalisées : une case vide est une chance de points abandonnée. Répondez d'abord aux questions sûres, puis aux probables, puis aux restantes en éliminant une ou deux propositions.

Quelles notions tombent le plus souvent ?

Pourcentages (évolutions, variations successives, retour à l'origine), moyennes pondérées et barycentre, proportionnalité, vitesses-temps-distances, arithmétique (divisibilité, PGCD, PPCM, parité), géométrie, et de plus en plus combinatoire et probabilités.

Comment progresser rapidement ?

Trois piliers dans cet ordre : apprendre le cours par cœur, installer les réflexes de méthode, s'entraîner chaque jour sur des questions chronométrées avec 10 minutes de calcul mental quotidien.

Quelle différence avec les conditions minimales ?

Le sous-test 2 demande de résoudre ; le sous-test 4 demande de déterminer si les informations suffisent à résoudre. Les deux reposent sur exactement le même cours.

Où puis-je trouver plus d'entraînement ?

Dans La Bible du TAGE MAGE (Studyrama, 17e édition) et dans les stages intensifs AURLOM, animés par les auteurs de la collection Le Choix du Succès.

Le mot de la fin

L'épreuve de calcul n'est pas une épreuve de génie mathématique, c'est une épreuve de préparation. Chaque formule apprise, chaque table récitée, chaque question chronométrée rapproche mécaniquement d'un excellent score. Commencez aujourd'hui : les nombres premiers jusqu'à 101, les carrés jusqu'à 20, et dix minutes de calcul mental par jour.

Auteur : Franck Attelan, fondateur d'AURLOM BTS+ et auteur de La Bible du TAGE MAGE (17e édition, Studyrama), de la Bible du Score IAE Message, de la Bible de l'ACCÈS et de la Bible du SÉSAME - collection Le Choix du Succès. Contenu exclusif AURLOM / Studyrama. Reproduction interdite.