Épreuve de mathématiques du Concours Puissance Alpha : programme, stratégie et exercices corrigés

Méthode rapide

Une équation de la forme A² = k (avec k > 0) équivaut à A = √k ou A = -√k. Ici A = 2x - 1 et k = 9 : √9 = 3 (la racine carrée d'un nombre positif est unique et positive), et les deux nombres dont le carré vaut 9 sont donc +3 et -3.

Calcul complet

2x - 1 = 3 donne 2x = 4, donc x = 2. 2x - 1 = -3 donne 2x = -2, donc x = -1. Les deux solutions sont x = 2 et x = -1.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. Ne retient que le cas 2x - 1 = +3 et oublie le cas 2x - 1 = -3, ce qui fait perdre la solution x = -1.
• B. Ne retient que le cas 2x - 1 = -3 et oublie le cas 2x - 1 = +3, donc la solution x = 2.
• D. Confond k et √k : cette réponse vient de l'écriture 2x - 1 = ±9 (au lieu de ±3), qui donne bien x = 5 et x = -4 après division par 2. L'erreur n'est pas dans la division, mais dans l'oubli de la racine carrée de 9.

Méthode rapide

On calcule f'(x) = 3x² - 3, on l'annule pour trouver les points critiques, puis on étudie le signe de f' pour distinguer maximum et minimum.

Calcul complet

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) s'annule en x = -1 et x = 1. f' est positive avant -1, négative entre -1 et 1, positive après 1 : x = -1 est donc un maximum local et x = 1 un minimum local. f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4. f(1) = 1 - 3 + 2 = 0.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• B. Inverse la nature des deux extremums : c'est bien x = -1 qui est un maximum (f' passe de + à -) et x = 1 un minimum (f' passe de - à +), pas l'inverse.
• C. Inverse à la fois la nature et les positions des extremums, et donne une valeur erronée (-4 au lieu de 4 en x = -1).
• D. f' possède bien deux racines réelles distinctes (-1 et 1) où elle change de signe, donc f admet bel et bien deux extremums locaux.

Méthode rapide

La somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison r ≠ 1 vaut u₀ × (r^(n+1) - 1) / (r - 1). Ici n = 5, r = 2.

Calcul complet

S = 3 × (2⁶ - 1) / (2 - 1) = 3 × (64 - 1) / 1 = 3 × 63 = 189.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. 96 = u₅ (le dernier terme seul, 3 × 2⁵), pas la somme des six premiers termes.
• B. 186 est la somme u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 6 + 12 + 24 + 48 + 96 : c'est le résultat obtenu en oubliant le premier terme u₀ = 3, alors que l'énoncé le fait bien figurer dans la somme (189 - 3 = 186).
• D. 381 correspond à la somme des sept premiers termes (jusqu'à u₆), une itération de trop dans la formule.

Méthode rapide

On pose y = e^x (avec y > 0) : l'équation devient y² - 5y + 6 = 0, une équation du second degré classique.

Calcul complet

Le discriminant vaut Δ = 25 - 24 = 1. Les racines sont y = (5+1)/2 = 3 et y = (5-1)/2 = 2, toutes deux strictement positives donc acceptables. On revient à x : e^x = 2 donne x = ln 2, et e^x = 3 donne x = ln 3.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• B. Confond y (valeur de e^x) avec x lui-même : après avoir trouvé y = 2 et y = 3, il faut encore appliquer le logarithme népérien pour obtenir x.
• C. Utilise directement les coefficients 5 et 6 de l'équation de départ au lieu des racines calculées de l'équation du second degré (2 et 3).
• D. L'équation du second degré en y admet bien deux racines réelles positives (2 et 3), donc deux solutions réelles existent bien pour x.

Méthode rapide

On applique la formule des probabilités totales : P(B) = P(A) × P(B|A) + P(non A) × P(B|non A).

Calcul complet

P(A) = 0,6 donc P(non A) = 0,4. P(B) = 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,5 = 0,18 + 0,20 = 0,38.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. 0,30 est seulement P(B|A), la probabilité d'échouer sachant qu'on a suivi la préparation, pas la probabilité globale d'échec sur toute la population.
• C. 0,42 proviendrait d'une erreur de pondération, par exemple en inversant les poids 0,6 et 0,4 dans le calcul (0,4 × 0,3 + 0,6 × 0,5 = 0,42).
• D. 0,50 est seulement P(B|non A), la probabilité d'échouer sachant qu'on n'a pas suivi la préparation, pas la probabilité globale.

Méthode rapide

X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,2. On utilise P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k) avec k = 2.

Calcul complet

C(5,2) = 10. P(X=2) = 10 × 0,2² × 0,8³ = 10 × 0,04 × 0,512 = 0,2048.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. 0,0400 correspond seulement à 0,2² sans multiplier ni par le coefficient binomial C(5,2) = 10, ni par 0,8³ = 0,512.
• C. 0,4000 correspond à 10 × 0,04 : le coefficient binomial et le carré de p sont bien pris en compte, mais le facteur (1 - p)³ = 0,8³ = 0,512 est oublié.
• D. 1,0000 correspond à l'espérance de X, E(X) = n × p = 5 × 0,2 = 1, et non à la probabilité ponctuelle P(X = 2) : une probabilité égale à 1 signifierait d'ailleurs un événement certain.

Méthode rapide

On calcule les vecteurs AB et AC, leur produit scalaire, leurs normes, puis on utilise cos(angle) = (AB·AC) / (‖AB‖ × ‖AC‖).

Calcul complet

AB = (-1;1;0), AC = (-1;0;1). Produit scalaire AB·AC = (-1)×(-1) + 1×0 + 0×1 = 1. ‖AB‖ = √(1+1+0) = √2, ‖AC‖ = √(1+0+1) = √2. cos(angle) = 1/(√2×√2) = 1/2, donc l'angle vaut 60°.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. 30° correspondrait à cos(angle) = √3/2 ≈ 0,866, une valeur bien supérieure au 1/2 réellement obtenu par le calcul du produit scalaire.
• B. 45° correspondrait à cos(angle) = √2/2 ≈ 0,707, ce qui ne correspond pas à la valeur 1/2 trouvée ici.
• D. 90° correspondrait à un produit scalaire nul (vecteurs orthogonaux) ; or AB·AC = 1 ≠ 0, les vecteurs ne sont donc pas orthogonaux.

Méthode rapide

On commence par déterminer le domaine : il faut x > 0 et x - 1 > 0, donc x > 1. On utilise ensuite ln a + ln b = ln(ab), puis l'injectivité du logarithme pour identifier les arguments.

Calcul complet

Sur ]1 ; +∞[, l'équation devient ln(x(x - 1)) = ln 6, donc x(x - 1) = 6, soit x² - x - 6 = 0. Le discriminant vaut Δ = 1 + 24 = 25, les racines sont x = (1 + 5)/2 = 3 et x = (1 - 5)/2 = -2. Seule x = 3 appartient au domaine. Vérification : ln 3 + ln 2 = ln 6.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• B. Résout correctement l'équation du second degré mais conserve la racine x = -2, qui n'appartient pas au domaine : ln(-2) et ln(-3) ne sont pas définis. Le domaine x > 1 doit être posé avant toute résolution.
• C. Additionne les arguments au lieu de les multiplier : x + (x - 1) = 6 donne bien x = 3,5, mais ln(3,5) + ln(2,5) = ln(8,75), différent de ln 6. La propriété correcte est ln a + ln b = ln(ab).
• D. L'équation admet bien une solution : x = 3 est dans le domaine et vérifie ln 3 + ln 2 = ln 6.

Méthode rapide

cos(x) = 1/2 a pour solution de référence x = π/3. Sur le cercle trigonométrique, l'autre solution dans [0;2π[ est son symétrique par rapport à l'axe horizontal, soit x = 2π - π/3.

Calcul complet

2π - π/3 = 6π/3 - π/3 = 5π/3. Les deux solutions dans [0;2π[ sont donc x = π/3 et x = 5π/3.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. Oublie la seconde solution : le cosinus étant une fonction paire, il existe toujours deux angles (sauf cas particuliers 0 et π) ayant le même cosinus sur une période complète.
• C. 2π/3 a pour cosinus -1/2 et non 1/2 : c'est la solution de l'équation cos(x) = -1/2, pas de celle posée ici.
• D. π/6 et 11π/6 sont les solutions de l'équation cos(x) = √3/2, pas de cos(x) = 1/2 : confusion entre deux valeurs remarquables du cosinus.

Méthode rapide

On cherche le plus petit entier n tel que 100 × 0,9^n < 10, soit 0,9^n < 0,1. On résout en passant au logarithme népérien, en n'oubliant pas que ln(0,9) est négatif, ce qui inverse le sens de l'inégalité.

Calcul complet

0,9^n < 0,1 équivaut à n × ln(0,9) < ln(0,1), soit n > ln(0,1)/ln(0,9) car on divise par un nombre négatif. Avec les valeurs fournies : -2,3026 / -0,10536 ≈ 21,85. Le plus petit entier vérifiant l'inégalité est donc n = 22. Repère de vérification sans calculatrice : 0,9²¹ ≈ 0,109 (donc u₂₁ ≈ 10,9 > 10) et 0,9²² ≈ 0,098 (donc u₂₂ ≈ 9,8 < 10).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

• A. n = 10 donne u₁₀ = 100 × 0,9¹⁰ ≈ 34,9, valeur encore très supérieure à 10 : la décroissance n'est pas suffisamment avancée.
• B. n = 15 donne u₁₅ ≈ 20,6, toujours strictement supérieur à 10 : le seuil n'est pas encore franchi à ce rang.
• D. n = 30 est bien un rang où la condition est vérifiée, mais ce n'est pas le premier rang : la suite est déjà passée sous 10 dès n = 22, donc 30 n'est pas la réponse au « à partir de quel rang, pour la première fois ».