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Tage Mage : Fiche de révision gratuite – Arithmétique

Modifié le 22/12/2023

Rappel sur les nombres

Ensemble des nombres entiers naturels

Il s'agit de l'ensemble des nombres entiers positifs, 0 inclus : 0, 1, 2, 3, 4,… 100, 789 etc. il y en a une infinité !

Question : A et B sont des entiers naturels, tel que A + B = 0. Que vaut A ? Que vaut B ?

Ensemble des nombres entiers relatifs

L'ensemble des nombre entiers relatifs contient l'ensemble des nombres entiers naturels PLUS l'ensemble des nombres entiers naturels précédés du signe – (ce sont des nombres entiers négatifs), tels que : – 1 ; – 2 ; – 11…, – 1000 etc. Il y en a là encore une infinité.

Ensemble des nombres décimaux

Il s'agit de l'ensemble des nombres qui sont des divisions de nombres entiers par des puissances (positives) de 10. Ainsi, le nombre 12,87 est un nombre décimal car il s'écrit sous la forme : 34,17 =3417 /100

Ensemble des nombres rationnels

Il s'agit de l'ensemble des nombres qui s'écrivent sous forme fractionnaire avec p et q des entiers relatifs.

Ensemble des nombres réels

L'ensemble des nombres réels est l'ensemble le plus large sur lequel on peut vous demander de travailler. Cet ensemble contient l'ensemble des nombres entiers naturels et relatifs, l'ensemble des nombres décimaux, des fractions et des irrationnels.

Les nombres premiers

Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par lui-même et par 1.

Important ! 1 n'est pas un nombre premier et 2 est le seul nombre premier pair.

Apprenez par cœur les 15 premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53. Les plus motivés (ceux qu'ils veut obtenir un score Tage Mage supérieur à 400 connaitront leurs nombres premiers jusqu'à 101 !!!!)

Division euclidienne

Si a et b sont deux entiers relatifs, b différent de 0, il existe des entiers q et r déterminés de manière unique par les conditions suivantes :

a = bq + r

avec q s'appelle le quotient de la division de a par b et r est le reste de cette division.

Si le reste est nul, cela signifie qu'il existe un entier q tel que a = bq ; on dit alors que b divise a, ou que a est un multiple de b.

Exemple : je veux diviser 74 par 7. J'obtiens : a = 74, b = 7, q = 10 et r = 4.

Je vérifie bien que r est inférieur ou égal à b – 1, ce qui est le cas, et je peux alors écrire : 74 = 7 fois 10 + 4

Critères de divisibilité

Les épreuves de Calcul et de Conditions Minimales au Tage Mage font largement appel à votre maîtrise parfaite du calcul mental : vous serez souvent amené à faire des calculs souvent simples mais rapides de tête (additions, multiplications, puissances, simplification de fractions). Vous n'avez jamais le droit à la calculatrice.

Critère de divisibilité par 2

Un nombre N est divisible par 2 si et seulement si il se termine par 0, 2, 4, 6 ou bien 8… autrement dit si et seulement si il est pair.

Critère de divisibilité par 3

Un nombre N est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

A vous de jouer : parmi les 5 nombres suivants, lesquels sont divisibles par 3 ?

123 – 516 – 111 – 87156 – 8176

Critère de divisibilité par 4

Un nombre N est divisible par 4 si et seulement si il se termine par 2 chiffres AB constituant un nombre divisible par 4, c'est-à-dire si et seulement si le dernier chiffre B est égal à 0, 4 ou 8 – pour un avant-dernier chiffre A pair – ou bien égal 2 ou 6 pour un avant-dernier chiffre B impair.

A vous de jouer : parmi les 5 nombres suivants, lesquels sont divisibles par 4 ?

712 – 980 – 618 – 91730 – 81672

Critère de divisibilité par 5

Un nombre N est divisible par 5 si et seulement si il finit par 0 ou 5.

Critère de divisibilité par 6

Un nombre N est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.

Critère de divisibilité par 9

Un nombre N est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses nombres est divisible par 9

A vous de jouer : parmi les 5 nombres suivants, lesquels sont divisibles par 9 ?

993 – 617 – 774 – 918791 – 78498

Critère de divisibilité par 10

Un nombre N est divisible par 10 si et seulement si il se termine par 0

Critère de divisibilité par 11

Critère général : un nombre N est divisible par 11 si et seulement si la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et celle de ses chiffres de rang pair est un multiple de 11.

Critère pour les nombres à 3 chiffres : pour vérifier que votre nombre de 3 chiffres est divisible par 11, il suffit de vérifier que la somme du premier et du dernier chiffre de votre nombre est égale au second chiffre de votre nombre. Ainsi, 143 est divisible par 11 car 1+3 = 4.

Décomposition d'un nombre entier en un produit de facteurs premiers

Tout entier naturel a > 1 est décomposable d'une manière unique en un produit de nombres premiers distincts.

Exemples : 77 = 11 x 7 ; 65 = 5 x 13 ; 78 = 2 x 3 x 13 etc.

Cette règle est certainement l'une des plus importantes pour réussir à résoudre bon nombre de questions au Tage Mage (Tage Mage – Calcul et Tage Mage – Conditions minimales).

En effet, de nombreuses questions s'appuient sur la décomposition des entiers en produits de nombres premiers. Ainsi vous dira-t-on par exemple dans l'épreuve de conditions minimales du Tage Mage que le produit des âges de Jeanne et Paul est égal à 221 et que Jeanne est plus âgée que Paul… Quel âge à Jeanne ?

C'est très simple : 221 n'est autre que 13 x 17 et Jeanne a donc 17 ans et c'est tout !


L'auteur

 
Franck Attelan

Fort de plus de 20 ans d'expérience dans l'enseignement, Franck Attelan est le directeur du Groupe Aurlom qui réunit les activités d'Aurlom Prépa, Aurlom BTS+ et High Learning. Diplômé de l'ESSEC, il a d'abord occupé des postes en marketing chez LVMH et L'Oréal en France, aux Etats-Unis et au Japon. Il est par ailleurs Directeur de la collection Le Choix du Succès aux éditions Studyrama, dont les ouvrages ont déjà totalisé des ventes supérieures à 300 000 exemplaires.